Somme de restes

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Somme de restes
Posté par 
elhor_abdelali   09-07-25 à 21:21
Bonjour 

Une petite détente d'été :

Pour  on note .

Prouver la convergence et calculer la somme de la série .  bonne détente 
 Posté par 
dpire : Somme de restes  10-07-25 à 08:33
Bonjour,

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1
 Posté par 
flightre : Somme de restes  10-07-25 à 12:15
Bonjour 

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pour la convergence je dirai qu'on peut utiliser le théorème de Leibniz  qui dit | Un | 1/2n
 Posté par 
elhor_abdelali re : Somme de restes  10-07-25 à 15:41
dpi : peux-tu détailler ? 

flight : oui pour la convergence 
 Posté par 
thetapinch27re : Somme de restes  10-07-25 à 21:26
Bonsoir,

Quelques éléments de réflexion :

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En réindexant, je trouve que 

Peut-être qu'en minorant correctement la somme interne on peut réussir à prouver que ça tend vers 1 puisqu'on sait déjà que Un<1/2^n, donc que la somme recherchée est majorée par 1
 ... à suivre.
 Posté par 
jandri re : Somme de restes  11-07-25 à 12:32
Bonjour,

merci à elhor_abdelali pour cette petite détente d'été.

La convergence ne pose pas de problème, c'est le calcul de la somme qui est intéressant et on trouve une valeur remarquable !

Pour la calculer on peut faire apparaitre un télescopage, je donne une indication :
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 avec 
 Posté par 
elhor_abdelali re : Somme de restes  11-07-25 à 20:49
Bonne idée jandri 
 Posté par 
elhor_abdelali re : Somme de restes  15-07-25 à 01:11
Pour développer l'idée de jandri (que je salue !) :

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Pour  on a :

.

D'où pour  on a :

  Posté par 
jandri re : Somme de restes  15-07-25 à 11:14
Bonjour,

j'ai fait exactement comme elhor_abdelali (que je salue).

Pour terminer il n'y a plus qu'à utiliser une propriété connue des nombres harmoniques.