Somme de Riemann alternée.

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Somme de Riemann alternée.
Posté par 
elhor_abdelali   14-01-09 à 13:37
Bonjour ;

Soit  continue . Que vaut    bonne réflexion
 Posté par 
matovitchre : Somme de Riemann alternée.  14-01-09 à 14:23
Bonjour !

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Intuitivement : .
 Posté par 
rogerdRiemann  14-01-09 à 14:24
Bonjour!

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on regroupe les termes deux par deux (si n est impair, on laisse donc de côté (1/n)f(1), mais il tend vers 0)

f est uniformément continue sur [0,1] donc pour n>n0, |f(2k/n)-f((2k-1)/n)| est inférieur à  imposé, pour tout k de 1 à n/2. La somme est donc majorée en valeur  absolue par /2.

La limite demandée est donc nulle.

 Posté par 
matovitchre : Somme de Riemann alternée.  14-01-09 à 14:28
Oups ! j'avais pas vu le 
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(-1)^k
...je vais réfléchir.
 Posté par 
matovitchre : Somme de Riemann alternée.  14-01-09 à 14:43
Erreur de balise...

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Bon j'ai lu le blank de rogerd  et j'approuve même s'il est certain que je n'aurai pas su m'exprimer aussi clairement.
 Posté par 
elhor_abdelali re : Somme de Riemann alternée.  14-01-09 à 18:25
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Bravo rogerd  c'est exactement la démarche à suivre 

Qu'en est-il sans la continuité de f ?
 Posté par 
1 Schumi 1re : Somme de Riemann alternée.  14-01-09 à 20:10
Salut 

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Intéressant...

Je dirai 0. En gros voici l'idée (j'ai pas écrit, donc il se pourrai très bien que ça soit pour le moins vaseux):

On commence par utiliser Heine.

Soit e> 0. Il existe a (de la forme 1/(2n)) telle que |x-y|<a ==> |f(x)-f(y)|<e.

L'idée c'est alors de voir que si a convient, alors c'est pareil pour tout a'<a. Ainsi, en regroupant comme deux par deux les termes, on voit que la somme est inférieur à e pour tous les m pairs > 2n.

Pour les impairs il n'y pas de problème non plus, on a un truc du genre S < e + f(1)/n.

D'où le résultat.

 Posté par 
jandri re : Somme de Riemann alternée.  14-01-09 à 22:35
Bonjour,

Pour rebondir sur la question d'Elhor je propose la question suivante:

Soit  de classe C1 et .

A quelle condition sur f la suite  a-t-elle une limite? La calculer alors.

Bonne recherche.
 Posté par 
1 Schumi 1re : Somme de Riemann alternée.  14-01-09 à 22:54
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Euh il me semble qua ça converge toujours non? Vers (f(1)-f(0))/2 qui puis est...

 Posté par 
jandri re : Somme de Riemann alternée.  14-01-09 à 23:04
Pour 1 Schumi 1:

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Non cela ne converge pas toujours; par exemple pour f(t)=1 la suite diverge.

 Posté par 
rogerdrebonds  15-01-09 à 08:22
Pour Jandri

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Je n'ai pas le temps de creuser mais il me semble qu'en appliquant, si n est pair, les accroissements finis à deux termes consécutifs, on tombe sur une somme de Riemann relative à la dérivée.

A plus tard

Bonne journée à tous.
 Posté par 
jandri re : Somme de Riemann alternée.  15-01-09 à 21:20
Pour rogerd

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Très bien. On fait la même chose pour n impair.

Il s'agit de sommes de Riemann généralisées, c'est-à dire avec des points qui ne sont pas au centre des intervalles.

 Posté par 
elhor_abdelali re : Somme de Riemann alternée.  15-01-09 à 23:05
Pour rogerd et jandri !

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La suite de ces points est-elle équirépartie dans [0,1] ? 
  Posté par 
jandri re : Somme de Riemann alternée.  16-01-09 à 19:20
Bonjour,

Pour montrer le résultat que j'ai proposé avec f de classe C1 on a besoin des sommes de Riemann généralisées, c'est-à-dire avec un pas non constant.

Si on veut rester dans le cadre du programme actuel des classes prépas (sommes de Riemann à pas constant) on supposera f de classe C2.