Somme des chiffres d'un produit

 Niveau exercicesPartager :
			        
Somme des chiffres d'un produit
Posté par 
Imod  10-09-26 à 11:54
Bonjour les morts 

Une petite composition personnelle inspirée par une propriété élémentaire qui ne m'avait vraiment pas sauté aux yeux .

On note S(n) la somme des chiffres d'un entier naturel en écriture décimale . On a S(n) = 1024 et S(32n) = 5120 que vaut S(4n) ?

Simple( ?) et amusant .

Imod
 Posté par 
Imodre : Somme des chiffres d'un produit  10-09-26 à 17:51
Edit : que vaut S(3n) ?

Imod
 Posté par 
jandri re : Somme des chiffres d'un produit  10-09-26 à 22:05
Bonjour,

si cela ne dépend pas du n choisi (comme l'énoncé le laisse penser), en prenant n=1010...101 (avec 1024 chiffres 1) on obtient S(n)=1024, S(32n)=5120 et S(3n)=3072.
 Posté par 
mdr_nonre : Somme des chiffres d'un produit  11-09-26 à 00:52
Bonsoir,

5120 = S(32n) ≤ S(30n) + S(2n) = S(3n) + S(2n) ≤ 3S(n) + 2S(n) = 5120,

donc S(3n) = 3S(n)
 Posté par 
Imodre : Somme des chiffres d'un produit  11-09-26 à 15:47
Bonjour à tous les deux

La valeur de la réponse est bonne mais la justification n'est pas complète . Il manque un résultat intermédiaire un peu folklorique : quand a-t-on S(mn)=S(m)S(n) ?

Imod 
 Posté par 
mdr_nonre : Somme des chiffres d'un produit  11-09-26 à 16:35
Bonjour Imod,

Une multiplication sans retenue vérifie $S(mn)=S(m)S(n)$.

Mais le message précédent n'en avait pas besoin : les deux extrémités de la chaîne étant égales, les deux inégalités affichées sont nécessairement des égalités.
 Posté par 
Imodre : Somme des chiffres d'un produit  11-09-26 à 17:15
Si tu veux 

Il y a tout de même deux lemmes sous-entendus :

 et  .

Même s'ils sont faciles à démontrer , ces résultats ne sont pas des classiques de l'arithmétique .

Imod  
 Posté par 
Imodre : Somme des chiffres d'un produit  11-09-26 à 18:28
D'autre part , l'égalité  est réalisée si et seulement si il n'y a aucune retenue dans la multiplication   . Il est amusant d'observer les contraintes imposées sur  par l'annonce  .

Imod
 Posté par 
jandri re : Somme des chiffres d'un produit  12-09-26 à 09:25
Bonjour Imod,

la démonstration de mdr_non n'utilise que la propriété  pour majorer S(30n+2n), S(n+n+n) et S(n+n).
  Posté par 
Imodre : Somme des chiffres d'un produit  12-09-26 à 10:42
En effet 

Voilà comment j'avais vu les choses :

La propriété rappelée par Mdr_non est une condition nécessaire et suffisante .

S(32n)=5120=5 X 1024 = S(32)S(n) . Il n'y donc aucune retenue dans la multiplication 32 X n , ce qui entraîne que l'écriture décimale de n n'est composée que des chiffres 0 , 1 , 2 et 3 . Alors dans la multiplication 3n , il n'y a aucune retenue et S(3n)=S(3)S(n)=3 X1024=3072 .

Pour l'exercice la méthode est trop complexe , je vais voir si on peut changer le problème pour échapper au raccourci de Mdr_non .

Imod