Somme des inverses au carré

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Somme des inverses au carré
Posté par 
infophile  28-05-10 à 14:34
Bonjour 

Voici un petit exo facile pour les sup.

Trouver des réels  et  tels que . En déduire que .

Indice (pour les Terminale uniquement) :

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On pourra utiliser le lemme de Lesbegue : si une fonction  est continue sur  alors .

Et cela marche aussi avec un sinus dans l'intégrale.

 Posté par 
LeFoure : Somme des inverses au carré  28-05-10 à 19:52
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Bonjour infophile et merci pour cet exercice.

Après intégration par partie, 

J'arrive à trouver l'égalité que doivent vérifier a et b:

Soit encore 

J'en déduis que  et  est la seule solution.

Pour la suite, je fais le calcul et je poste ça.
 Posté par 
LeFoure : Somme des inverses au carré  28-05-10 à 20:55
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Donc on arrive assez facilement à :

Et là j'ai un petit soucis avec la 2ème intégrale, n'est pas continue en 0...

J'ai peut-être fait des erreurs de calculs...
 Posté par 
LeFoure : Somme des inverses au carré  28-05-10 à 21:01
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Oups, j'ai oublié un facteur, c'est 

 Posté par 
infophilere : Somme des inverses au carré  28-05-10 à 21:23
Lefou >

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Je n'ai pas vérifié tes calculs mais la méthode est bonne.

N'oublie pas justement de prendre en compte ce facteur pour les limites en 0 et  
 Posté par 
bc92re : Somme des inverses au carré  29-05-10 à 01:51
Bonjour,

Cela marche effectivement très bien en intervertissant somme et intégrale comme l'a fait LeFou, mais il faudrait justifier proprement le procédé...

Bruno
 Posté par 
olive_68re : Somme des inverses au carré  29-05-10 à 06:33
Salut,

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Je précise tout de suite que j'ai de (très) gros doute sur le passage mis en citation ^^ Et d'ailleurs j'ai feuilleté tout le cours de mon livre sur les intégrales mais je vois rien que permette de conclure ( je crois moyennement à l'inégalité de C-S ) mais j'ai pas encore fait le cours sur les intégrales donc C-S permet quand même de conclure ??

Après une double IPP on arrive à  .

On cherche  et  tel que  :

 Si  est impair :   et  ça peut être n'importe quoi. 

 On espère donc que si  est pair on puisse prendre  et trouver  tel que  et on trouve que si  vaut  ça marche.

Dans tout les cas, un couple  qui convient est  .

Et  pour .

Donc   pour 

Ce qui vaut  .

La première vaut la limite trouver, j'aimerais montrer que la seconde est nulle.

Le truc c'est que le cosinus du haut est  donc quand on fait tendre n vers l'infini elle tend à devenir .

Citation :
Donc j'aimerais dire que 

Où 

La première intégrale vaut .

Si on fait tendre  vers  la deuxième l'intégrale devrait se rapprocher de 0 (chose que j'arrive pas à prouver, puisque  et que  tend vers zéro ou non, par contre j'ai pas l'impression qu'il y ait de contre-exemple pour une des deux borne fixe)

Le problème c'est que mon  dépend de , et qu'on ne peut pas le borner ..

Tout ça c'est purement intuitif mais en faisant tendre vers zéro, au bout d'un moment on devrait avoir des périodes tellement petites que les variations du dénominateur serait (peut-être) négligeable, et donc que la fonction  est zéro périodique donc nulle ( Pas correcte comme expression mais qui se comprends bien )

Et donc au passage à la limite sur  on obtient la limite.

Je veux bien un indice pour continuer parce que là ... 

Merci 
 Posté par 
infophilere : Somme des inverses au carré  29-05-10 à 09:22
bc > oui mais je ne l'exige pas de la part des sup, on voit ça en spé.

olive >

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Si tu n'as pas encore fait le cours dessus lis l'indice  
 Posté par 
olive_68re : Somme des inverses au carré  29-05-10 à 15:21
Kévin >> 
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Si ma fonction  était continue, je n'aurais pas eus besoin de l'indice puisque j'aurais majorée par le sup de  et lorsqu'on intègre le cosinus, un facteur 1/n sera apparu pour faire tendre la bête vers 0.

Mais la fonction n'est pas continue, ni prolongeable par continuité, on ne peut pas appliquer le lemme nan ? Surtout qu'au point de discontinuité ça tend vers l'infini
 Posté par 
gui_toure : Somme des inverses au carré  29-05-10 à 15:26
Hello à tous

@Olive

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Ne me dis pas que tu majores f(t)cos(nt) en valeur absolue par sup|f| * cos(nt) 
 Posté par 
olive_68re : Somme des inverses au carré  29-05-10 à 15:35
Salut gui_tou,

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Comment se sont passés les concours pour toi ?? J'ai pu lire qu'au mines tu étais plutôt content de toi, c'est cool 

Désolé mais je vois pas l'erreur ^^.

Si tu parles de mon premier poste, je comprends le tiens ( à la fin j'ai rajouté ça "  Le problème c'est que mon  dépend de , et qu'on ne peut pas le borner ..  "  --> donc qu'on ne peut pas majorer  )
 Posté par 
numero10re : Somme des inverses au carré  29-05-10 à 18:30
Salut,

Par une double intégration par parties:

On trouve:

On cherche alors 

Je choisis arbitrairement a=1

Ainsi,

De là:

Or:

De plus ,

 Posté par 
numero10re : Somme des inverses au carré  29-05-10 à 18:33
Oups désolé l'idiot je ne voulais pas poster je voulait faire un aperçu s'il était possible de supprimer mes deux derniers messages.
  Posté par 
LeFoure : Somme des inverses au carré  29-05-10 à 20:21
>> infophile
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Citation :
N'oublie pas justement de prendre en compte ce facteur pour les limites en 0 et 

J'ai un peu de mal à voir à quoi tu penses. Et le seule truc qu'il me reste à prouver c'est que la deuxième intégrale est nulle, mais avec les outils de SUP ça me paraît assez compliqué !