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Somme des n premiers carrés
Bonsoir a tous,
J'espère que vous allez bien j'ai un dm, je me bloque sur la fin de cet exercise (la question 3a et b ), pouvez-vous m'aider s'il vous plait:
Pour tout entier n>=1, on definie (un) comme la suite des sommes des n premiers carres.
C'est a dire :
un = 1² + 2² + 3² + 4² +… + n² pour tout entier n>=1.
1) calculer les trois premiers termes de la suite (un).
2)determiner une relation entre un+1 et un.
3) on pose (vn) la suite definie pour tout n € N par :
vn = n(n+1)(2n+1) / 6
a) montrer que u1 = v1.
b) verifier que la suite (vn) verifie la meme relation de recurrence que la suite (un). conclure.
Voici mes reponses :
1) u1 = 1² = 1
u2 = 1² + 2² = 5
u3 = 5 + 3² = 14
2) un+1 = un + (n+1)²
3-a) u1 = 1
V1= [1(1+1)(2 x 1+1)] : 6 = 6/6 = 1 donc u1 =v1
3-b) vn= [(n^2 +n)(2n+1)] :6
Vn+1= [n+1(n+1+1)(2n+1+1)]:6
Mais là j'obtiens pas les mêmes résultats.
Merci.
Bonsoir,
Ton expression de vn+1 est erronée... manque des parenthèses !
Vn+1= [n+1(n+1+1)(2n+1+1)]:6
Vn+1= [(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)]:6
Bonsoir,
Ton message est un copié-collé illisible.
As-tu fait "Aperçu" avant de poster ?
Il faut passer à la ligne quand utile.
Tu as peut-être des difficultés si tu postes avec un téléphone.
J'essaye d'améliorer l'énoncé :
Pour tout entier n>=1, on definit (un) comme la suite des sommes des n premiers carres.
C'est à dire : un = 1² + 2² + 3² + 4² +… + n² pour tout entier n>=1.
1) Calculer les trois premiers termes de la suite (un).
2) Determiner une relation entre un+1 et un.
3) On pose (vn) la suite definie pour tout n € N par : vn = n(n+1)(2n+1) / 6
a) Montrer que u1 = v1.
b) Vérifier que la suite (vn) verifie la même relation de recurrence que la suite (un).
Conclure.
D'accord. Merci pour votre réponse.
Vn=(2n^3+3n^2+n):6
Vn+1=(2n^2+6n+4):6
Après comment je fais pour que j'obtiens vn+1= vn+(n+1)^2 ?
* Modération > Citation inutile effacée. *
c?est un peux compliqué par téléphone je fais pas attention quand j?écris .
Vn+1=(2n^2+6n+4):6
Cette formule développée est fausse.
Tu dois obtenir un polynôme en n de degré 3 !
1) Tu as obtenu la bonne expression de vn ;il te faut reprendre le développement de vn+1....
2) Ensuite et c'est là que la justification de la démarche n'est pas... évidente !
A la question 3b on te dit :
b) vérifier que la suite (vn) vérifie la même relation de récurrence que la suite (un)
Rappel : Pour (un) la relation de récurrence que tu as obtenue à la question 2 est : un+1 = un +(n+1)².
Objectif : il faut établir que la suite (vn) vérifie la même relation de récurrence soit montrer que vn+1 peut s'écrire vn+(n+1)²
Démarche : calculer vn+1 - vn et montrer que la différence obtenue est bien égale à..... (n+1)²
Bon courage (ces calculs ne sont pas très difficiles).
PS : Je suis disponible ce matin jusque vers 11h. Ensuite je serai déconnecté jusqu'à demain midi mais Sylvieg (bonjour 
) prendra le relai si besoin. N'hésite pas à soumettre tes résultats à notre vérification.
Et pour la raison j'ai trouvé n^2+2n
NON
vn+1 - vn = ???
Relis mes explications. Tu dois y trouver l'expression cherchée pour cette différence.
Bonjour,
Dommage d'avoir développé le numérateur de vn+1.
vn+1 = (n+1)(n+2)(2n+3) / 6
vn = n(n+1)(2n+1) / 6
Pour la différence, on pouvait factoriser par (n+1).
Dans ton message de 10h59, ce n'est pas une raison que tu as trouvée, car ce n'est pas une constante.
Et il y a une erreur car vn+1 - vn n'est pas égal à n2 + 2n.
Il manque un +1.
Évite d'écrire "J'ai trouvé ceci", sans préciser ce que c'est.
Conclure alors que l'exercice n'annonce pas un objectif au départ n'est pas simple, quand on n'a pas l'habitude de ce type d'exercice.
Rappel : Pour (un) la relation de récurrence que tu as obtenue à la question 2 est : un+1 = un +(n+1)².
Objectif : il faut établir que la suite (vn) vérifie la même relation de récurrence soit montrer que vn+1 peut s'écrire vn+(n+1)2
Les suites (un) et (vn) ont le même 1er terme et vérifient la même relation de récurrence.
On peut en déduire qu'elles sont égales.
Autrement dit, pour tout n de
* on a un = vn.De retour sur 
.
Merci à Sylvieg pour la suppléance .
Pour Elisa, juste un petit complément en guise de conclusion.
Sylvieg a écrit :
Autrement dit, pour tout n de de
* on a un = vn.En reprenant les définitions de un et de vn, on peut en déduire que pour tout entier n>=1:
1² + 2² + 3² + 4² +… + n² = n(n+1)(2n+1) / 6
Belle formule
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