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Somme des racines égale à 100
Bonjour à tous 
Je vous propose un exercice assez bluffant . La solution n'utilise que des résultats niveau lycée et le cheminement vers la solution est assez naturel ( pas de grosse astuce parachutée ) . Pourtant , plus on avance et plus on s'amuse . Voilà le problème :
Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles la somme des solutions de l'équation est égale à 100 ?
On blanke ou pas , comme on le sent et surtout on s'amuse
Imod
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@dpi : et
sont solutions de
. Ça fait déjà deux solutions dont la somme est
. L'énoncé demande de trouver
pour que la somme de toutes les solutions vaille 100.
La solution a été donnée , il n'y a plus qu'à justifier . Je trouve l'exercice stimulant pour de multiples raisons .
Imod
la clé est la symétrie des solutions. car finalement de la parabole y = x(a-x)
leur somme ne dépend donc que de leur nombre et de a directement, sans avoir besoin de chercher à les calculer individuellement (ouf 
)
par exemple illustratif avec a = 20 :
outre les deux solutions triviales 0 et 20, il y a ici 6 solutions dont la somme est ... hé hé.
le nombre de solutions croit par paliers avec la valeur de a, c'est à dire l'ordonnée du sommet S de la parabole :
En effet et on a presqu'envie de voir ce qui se passe si on remplace 100 par une autre valeur
Existence de a , unicité ?
Imod
Je fais remonter ce sujet dont une question est restée à l'abandon
La somme des solutions de l'équation
est égale à T . Quelle est la valeur de en fonction de T ?
Imod
est de signe négatif à l'extérieur de ses racines, donc l'expression n'a de sens que sur l'intervalle [0,a] ou [a,0] en fonction du signe de a.
Etant donné un tel a, il ne peut exister de solution que si le discriminant de est positif, avec k un entier relatif. Ce dernier vaudra
qui est positif si et seulement ses deux facteurs sont de même signe, ce qui revient à demander que k appartienne à
, qui contient
éléments. L'ensemble des solutions est donc
et il contient
éléments car
est paire par rapport à son second argument et on ne compte pas 0 deux fois lorsque a = 0.
La somme des éléments de S(a) est T(a) = 0 quand a = 0 et sinon. Cette formule est aussi valable quand a = 0, donc.
n2Pour résumer :
Si
Si
Avec entier naturel non nul .
On retrouve le résultat initial pour
Dans l'exercice initial T et a sont entiers , on peut s'interroger sur la possibilité que deux valeurs entières successives de T donnent deux résultats entiers .
Imod
En effet , sauf erreur , les valeurs de fournissent des valeurs de T plutôt étranges .
Si k est négatif , alors
Si k est positif alors
Ce qui remet en doute l'existence et l'unicité de a pour T donné .
Imod
Bonsoir,
je précise ce que j'ai trouvé.
Je note la somme des solutions de l'équation
. Il est clair que
.
Si on change en
et
en
l'équation est inchangée. Par conséquent les solutions pour
sont les opposées des solutions pour
donc
. On peut donc se limiter au cas
.
L'équation s'écrit où
. Avec
on trouve qu'il y a deux solutions si
et une solution (racine double) si
.
Quand il y a deux solutions la somme des deux solutions est égale à , quand il n'y en a qu'une cette solution est égale à
.
On a donc :
si alors
si alors
Par exemple quand on a
Pour on a
Quand on a
, etc ...
On voit ainsi que si il n'existe pas de
tel que
* Sylvieg edit > coquille rectifiée *
Tu as raison , c'est bien plus clair dans ce sens . On voit encore mieux ce qui se passe si on divise a et S par ( un peu comme le h de la physique quantique ) . La fonction S est linéaire par morceaux , la pente augmentant de 1 au passage de chaque entier . Les valeurs sur les entiers a sont S(a)=a(a+1)/2 . On voit que S n'est pas surjective comme tu le signales mais qu'elle n'est pas non plus injective à cause des valeurs entières de a . On évite ce problème en prenant un total entier comme dans l'exemple initial .
Imod
Merci jandri pour ces précisions.
Il était un peu tard hier soir et j'ai écrit des bêtises.
Mais ton message me fait comprendre une autre erreur qui était d'avoir compté deux fois l'éventuelle racine double...
Idem pour Ulmiere ?
Il manquait une division par 2 pour les valeurs entières dans le message précédent S(a)=a(a+1)/4 . Du coup je ne sais plus pour l'injectivité .
Imod
@imod
la fonction n'est pas surjective mais elle est injective car strictement croissante sur
.
On peut préciser, pour l'équation :
il y a une unique solution si pour un on a
, la solution
il y a une unique solution si pour un on a
, la solution
il n'y a pas de solution si pour un on a
avec
.
Oui , les points "entiers" viennent se caler entre les parties linéaires , j'avais oublié un facteur qui m'avait fait penser le contraire . Du coup il n'y a pas beaucoup de prolongements possibles pour l'exercice car on passe pour S d'une longue plage à solution unique à une autre sans solution .
Imod
@Imod,
J'ai reconstitué ceci avec ton "edit" :
Les valeurs sur les entiers a sont S(a)=a(2a+1)/2.
Et j'ai voulu comprendre...
J'ai préféré changer les lettres :
et
.
Si n < x < n+1
alors
V(x) = (n+1)x .
Et V(n) = n(2n+1)/2 = n2 + n/2 .
Que se passe-t-il autour de n pour la fonction V ?
Sa limite à droite de n est n(n+1) = n2 + n .
Sa limite à gauche de n est n2 .
D'où un saut de chaque côté de n dont l'amplitude est n/2 .
Ai-je bien compris ?
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