Niveau exercices

Somme et partie entière

Posté par
flight 18-01-23 à 19:45

Bonsoir

je vous propose l'exercice suivant ; Il s'agit de calculer une somme de parties entieres .

S (n)=E((k/2)) , pour k compris

entre 0 et n . ( E est la partie entière )

Posté par re : Somme et partie entière 18-01-23 à 21:12

Bonsoir,

il existe une formule explicite qui fait intervenir $p=E(\sqrt{n/2})$ :

Cliquez pour afficher

Posté par re : Somme et partie entière 19-01-23 à 13:45

Bonjour jandri    bravo comme toujours
mes formules sont les suivantes  :
si n/2 n'est pas un carré parfait  alors  :
S(n)=( p(4p+2))   +  E(n/2)).(n+1-2E²(n/2))   , la somme va de p=0 à  E(n/2)) -1.
sinon
S(n)=(p(4p+2)) + E(n/2))  , somme va de p =0 à E((n-1)/2))

Posté par re : Somme et partie entière 19-01-23 à 18:55

Bonjour flight,

merci d'avoir posé cette question intéressante.
On peut d'ailleurs généraliser à un entier $a\in\N^*$ et calculer $S_a(n)=\sum_{k=0}^nE(\sqrt{k/a})$ .

Dans un premier temps j'ai fait le calcul.
C'est après-coup, en regardant le cas $a=1$ sur l'OEIS, que j'ai trouvé une démonstration "visuelle" qui ne demande aucun calcul (si on connait la somme des carrés des $p$ premiers entiers).

Voici la valeur de $S_a(n)$ en posant $p=E(\sqrt{n/a})$ :