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Sommes d'inverses d'entiers naturels.
Salut à tous. Voici un petit exercice sympa.
Pour tout entier naturel non nul n on note A(n) l'ensemble des n-uplets d'entiers naturels non nul tels que la somme des inverses des composantes soit strictement inférieur à 1, et B(n) l'ensemble de ces sommes. On pose Un = Sup(B(n)).
1)Montrer que pour tout n > 0, Un < 1.
2)Montrer que (Un) converge vers 1, puis montrer que pour tout entier naturel non nul p on a Un = 1 + O(1/(p^n)).
Bonne recherche.
Cliquez pour afficherSalut blang
C'est ça pour la deuxième question, tu as même été plus précis. Et pour la première question je n'ai pas résonné par récurrence, mais par l'absurde, en supposant qu'il existe une suite d'éléments de B(n) convergente vers 1.
Et pour la première question j(...)'ai (...) résonné (...) par l'absurde, en supposant qu'il existe une suite d'éléments de B(n) convergente vers 1.
Oui, tu as raison, à coup de Bolzano-Weirstrass, ça marche effectivement très bien (par extraction, au final, on ne saurait avoir une suite constante ou strictement décroissante d'éléments de B(n) qui converge vers 1).
Une remarque :
je n'ai pas résonné par récurrence
Attention de ne pas raisonner comme une cloche
Salut à vous.
En effet il faudrait préciser en quoi la densité des rationnels dans R répond à la question, et il ne faut pas oublier que pour n fixé, un nombre rationnel ne se met pas forcément sous la forme d'une somme d'inverses de n entiers...
Bonjour.
Par définition, B(n) est l'ensemble des sommes inférieures à 1 de n inverses de nombres entiers. Le plus grand de ces éléments est inférieure à 1; soit g cet élément.
g + (1-g)/2 est un nombre rationnel supérieure à g et à tout autre élément de B(n). Il est donc un majorant de B(n).
Il est aussi inférieur à 1
g < 1 
g/2 < 1/2 -> g/2 + 1/2 < 1 g - g/2 + 1/2 < 1 g + (1-g)/2 < 1
Ce serait intéressant de savoir dans quel intervalle un sous-ensemble de B(n) serait dense.
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