Niveau exercices

Sommes de carrés distincts

Posté par
Onoff 19-04-11 à 17:55

Bonjour

Une petite énigme pour se détendre :

Quels sont les entiers naturels qui peuvent s'écrire comme une somme de carrés distincts ?

Posté par re : Sommes de carrés distincts 20-04-11 à 18:54

Bonjour,

128 ne se décompose pas en une somme de carrés. Peut-on décomposer les nombres supérieurs à 128 ?

Avec a < b < x², si on pouvait décomposer les nombres de a à b (sans utiliser, par définition, le terme x²), on saurait décomposer aussi les nombres de x²+a à x²+b par simple ajout du terme x².

Avec a = 129, b = x²-1 et x = 13, si on pouvait décomposer les nombres de [129,168], on saurait décomposer ceux de [298,337].
De la même manière, avec x = 14, si on pouvait décomposer les nombres de [129,195], on saurait décomposer ceux de [325,391].
Ces deux intervalles, [298,337] et [325,391], se chevauchent. Sous quelles conditions ceci se produit-il ?
Pour deux carrés successifs et en gardant a = 129, on a :
: [129,x²-1] -> [x²+129,2x²-1]
: [129,(x+1)²-1] -> [(x+1)²+129,2(x+1)²-1]
et il faut vérifier que 2x²-1 >= (x+1)²+129
=> x² -2x -131 >= 0 => x > 12

Donc, avec x >= 13, le chevauchement se produira toujours et on peut en déduire que, sachant décomposer les nombres de [129,x²-1], on sait décomposer les nombres de [13^2+129,x²+x²-1] soit [298,2x²-1].
Il y a forcément un x² tel que 298 < x² < 2x²-1. Ce qui permet de conclure, par récurence, que si on peut décomposer les nombres de 129 à 297, on pourra décomposer tous les nombres supérieurs à 128.

Tous les nombres de 129 à 297 peuvent se décomposer en une somme de carrés.
La meilleure façon de le prouver est d'en faire la recherche exhaustive. Cela a été fait et répertorié.

Finalement, les nombres entiers supérieurs à 128 peuvent être décomposés en une somme de carrés parfaits tous distincts.

Pour les nombres inférieurs à 129, le plus simple est encore de donner la liste des décomposables :
1,[4,5],[9,10],[13,14],[16,17],[20,21],[25,26],
[29,30],[34,42],[45,46],[49,59],[61,66],[68,71],
[73,75],[77,91],[93,95],[97,107],[109,111],[113,127]

Merci.

Posté par re : Sommes de carrés distincts 21-04-11 à 18:53

Bonjour rodival

Ta preuve me semble correcte et même astucieuse. Elle nécessite moins de vérifications de cas particuliers que la mienne. Je vois que tu es en TS et je te félicite.

Montrons par récurrence sur $3$ n \geq 65^2-1$ la proposition $3$ \mathfrak{P}(n)$ : Tout entier entre $3$ 129$ et $n$ est décomposable.

$3$ \bullet$ $3$ \mathfrak{P}(65^2-1)$ est vraie (vérification informatique).

$3$ \bullet$ Supposons que $3$ \mathfrak{P}(n)$ soit vraie pour un certain $3$ n \geq 65^2-1$ .
Soit $3$ m \in \mathbb{N}$ tel que $3$ m^2 \leq n+1 < (m+1)^2$ ( $3$ m=E \left( \sqrt{n+1} \right)$ ) .
D'une part : $3$ (m+1)^2>n+1\geq65^2$ donc $3$ m \geq 65$ .
D'autre part $3$ n+1-(m-1)^2 \geq m^2-(m-1)^2=2m-1 \geq 2 \times 65-1=129$
et $3$ n+1-(m-1)^2 < (m+1)^2-(m-1)^2=4m<(m-1)^2$ (la dernière inégalité étant vraie dès que $3$ m\geq 6$ ).
Ainsi $3$ n+1-(m-1)^2$ est un entier entre $3$ 129$ et $3$ n$ strictement inférieur à $3$ (m-1)^2$ . En traduisant qu'il satisfait à l'hypothèse de récurrence, on constate que $3$ \mathfrak{P}(n+1)$ est vraie.

Posté par re : Sommes de carrés distincts 22-04-11 à 02:29

Désolé Onoff,

Citation :
Je vois que tu es en TS et je te félicite.

Mon profil t'as induit en erreur. En fait, je ne suis plus en terminale depuis longtemps. J'aurais voulu pouvoir ajouter au moins une ligne à mon profil pour pouvoir expliquer à cette île "mathématique" que j'estimais que mon niveau - en maths - était celui que j'ai acquis en terminale. Ensuite, j'ai fait un IUT de biologie et ce n'est pas un cursus où on fait vraiment appel à des notions extraordinaires en maths...
Bref, je connais bien Pythagore, les identités remarquables et la formule de De Moivre mais même pour des intégrales ou des matrices, il me faudrait un certain temps pour récupérer suffisamment d'automatismes.

Là, pour ton problème, j'avais croisé sur le net une phrase affirmant que les entiers > 128 étaient décomposables... hélas, sans démonstration... et je m'étais déjà posé la question à ce moment là. Ton problème m'a forcé à m'accrocher pour le démontrer.
Un petit programme m'a fait voir que les entiers décomposables se densifiaient plus ils devenaient grands. Alors, j'ai cherché à démontrer mon histoire d'intervalles se chevauchant... et ça a marché