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On pourrait conjecturer plus loin : tout nombre qui, divisé par 8, ne donne pas un reste 7 est la somme de trois carrés.
On a déjà démontré que le produit de nombres premiers de la forme 4k+1 est la somme de deux carrés.
A Dpi : 0 est aussi un carrré.

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En vertu du théorème des 15 de Conway, il suffit de trouver la décomposition des 15 premiers entiers > 0 pour que le polynome a²+b²+c²+d² soit représentatif de tous les entiers.
(et même les 15 décompositions ne sont pas toutes nécessaires)

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Après reprise de mes sources et grace à la démonstration de Bhargava, seuls les entiers 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15 sont nécessaires. Donc :

1 = 1² + 0² + 0² + 0²
2 = 1² + 1² + 0² + 0²
3 = 1² + 1² + 1² + 0²
5 = 2² + 1² + 0² + 0²
6 = 2² + 1² + 1² + 0²
7 = 2² + 1² + 1² + 1²
10 = 3² + 1² + 0² + 0²
14 = 3² + 2² + 1² + 0²
15 = 3² + 4² + 1² + 1²
Voilà, c'est démontré.

La démonstration du théorème de Conway par Bhargava n'est pas trop difficile mais demande un nombre important de recherches exhaustives par ordinateur. Ce fait et sa longueur la rende incompatible avec ce forum
Faut-il la détailler ? Cf le pdf :

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15 = 3² + 2² + 1² + 1² bine sûr

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Je n'osais pas mettre 0² car à partir de là
par récurrence tout devient possible.
C'est plus difficile quand on fait les triangles
de mémère de jamo..