Bonjour!

On suppose que G est un sous-groupe additif de , non réduit à {0}. On veut montrer que G est soit dense dans soit de la forme: a={an, n} où a₊^*.

1. Montrer que m=inf(GR₊^*) est défini et que m0 (Fait: on montre que l'intersection des deux ensembles et non vide et minorée. Déduction du signe de m: 0 est un minorant de GR₊^* et la borne inférieure est le maximum des minorants.. )

2. On suppose que m>0.
    a) On suppose que mG. Montrer qu'il existe (a;b) G² tels que m<a<b<2m. En déduire une absurdité. (Fait: on utilise la caractérisation de la borne inférieure. On aboutit à une absurdité avec la définition de la borne inférieure ce qui montre que la supposition faite au début est fausse, c-à-d: mG)

     b) Soit xGR₊^*. Montrer que : !(q;r) tel que: x=qm+r avec 0rm.
(Fait:
L'existence: on prend q=E(x/m) et r=m {x/m}
L'unicité: on prend deux couples (q₁;r₁) et (q₂;r₂) de [0;m[, tels que: q₁m+r₁=x=q₂m+r₂. On aboutit à l'égalité entre les deux couples.)

     c). Montrer que rG puis conclure que G=m. (C'est là où je bloque. Je vais détailler ce que j'ai fait dans un autre message.)

(Je n'ai pas encore fait la suite du problème. Si je rencontre des difficultés, je publierai la suite dans un autre poste)

Merci d'avance.