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Sous-groupe additif de R

Posté par
Yona07
17-11-21 à 21:02

Bonjour!

On suppose que G est un sous-groupe additif de , non réduit à {0}. On veut montrer que G est soit dense dans soit de la forme: a={an, n} où a+*.

1. Montrer que m=inf(GR+*) est défini et que m0 (Fait: on montre que l'intersection des deux ensembles et non vide et minorée. Déduction du signe de m: 0 est un minorant de GR+* et la borne inférieure est le maximum des minorants.. )

2. On suppose que m>0.
    a) On suppose que mG. Montrer qu'il existe (a;b) G2 tels que m<a<b<2m. En déduire une absurdité. (Fait: on utilise la caractérisation de la borne inférieure. On aboutit à une absurdité avec la définition de la borne inférieure ce qui montre que la supposition faite au début est fausse, c-à-d: mG)

     b) Soit xGR+*. Montrer que : !(q;r) tel que: x=qm+r avec 0rm.
(Fait:
L'existence: on prend q=E(x/m) et r=m {x/m}
L'unicité: on prend deux couples (q1;r1) et (q2;r2) de [0;m[, tels que: q1m+r1=x=q2m+r2. On aboutit à l'égalité entre les deux couples.)


     c). Montrer que rG puis conclure que G=m. (C'est là où je bloque. Je vais détailler ce que j'ai fait dans un autre message.)

(Je n'ai pas encore fait la suite du problème. Si je rencontre des difficultés, je publierai la suite dans un autre poste)

Merci d'avance.

Posté par
Yona07
re : Sous-groupe additif de R 17-11-21 à 21:15

On a x=qm+r donc r=x-qm.
D'ailleurs, mG et q, donc mqG et par la suite r G.
En fait r[0,m[.
Ainsi: rG[0;m[ = G]0;m[ (G{0})

]0,m[R+*, donc m=inf(G]0;m[). Ceci contredit la définition de la borne inférieure..
Donc que puis-je conclure à propos de r??

En fait l'inclusion: mG est évidente ( G est un sous-groupe additif et m G) , il suffit alors de montrer que Gm. Pour le faire, il faut que r=0 et donc x=mq (xG)...

Posté par
bernardo314
re : Sous-groupe additif de R 18-11-21 à 00:19

r  est dans  G  et est plus petit que  m   donc il est nul c'est tout.

Posté par
Yona07
re : Sous-groupe additif de R 18-11-21 à 02:19

Salut!
Merci pour avoir répondu.

Si, c'est à ce que j'ai abouti, mais je m'en doutais. Merci pour m'avoir assurée!



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