Niveau concours

sphère et plan

Posté par
elo22 21-06-09 à 09:58

Bonjour

Je cherche comment montrer qu'un plan qui coupe une sphère
la coupe suivant en cercle (en exercice d'application de l'orthogonalité dans l'espace affine euclidien)

MERCI

Posté par re : sphère et plan 21-06-09 à 10:22

bonjour,
considerons la droite (D) passant par W le centre de la sphere  (sphere de rayon R) et perpendiculaire au plan ,  elle coupe ton plan en H et Pour tout point M du plan   $(WH)\perp(HM)$ donc on peut appiquer thPythagore dans le triangle MHW :
MW²=MH²+HW²

si M est à la fois sur le plan et sur la sphere R²=MH²+HW² donc MH² est constant donc M est sur le cercle du plan de centre H de rayon $\sqrt  {R2-HW^2}$

reciproque : si N verifie : N est sur le plan et $NH=\sqrt  {R2-HW^2}$ alors comme $(WH)\perp(HN)$ , on applique th Pythagore  pour en deduire que WN²=R² donc N est sur la sphere