Niveau exercices

Stirling__Application [niveau sup]

Posté par
fusionfroide 13-11-07 à 22:54

Salut

Une petite application de la formule de Stirling...

Calculer $\blue\fbox{4$\Bigint_0^{\infty} \frac{x-\frac{1}{2}-E(x)}{x}dx}$

(l'intégrale existe)

Des propositions ?

édit Océane

Posté par re : Stirling__Application [niveau sup] 13-11-07 à 23:06

Bon bien-sûr c'est pas 0 mais 1 grrr

Si un modo passe par là

Posté par re : Stirling__Application [niveau sup] 14-11-07 à 15:55

Bonjour
et c'est vraiment pour expresso ? ou pour détente-exercices ?

Posté par re : Stirling__Application [niveau sup] 14-11-07 à 15:55

tu sais que tu peux t'autosignaler ?

Posté par re : Stirling__Application [niveau sup] 14-11-07 à 22:58

Salut,

stirling : $\Large n! \sim \sqrt{2\pi n}{(\frac{n}{e})}^n$

Nous aurons besoin de l'expression déduite
$\Large \frac{(n+1)^{n+\frac32}}{(n+1)!} \sim \frac{e^{n+1}}{\sqrt{2\pi}}$

Soit $n>0, \displaystyle \Large S_n=\int_1^n\frac{x-\frac12-E(x)}{x}\text{d}x \;\;;\;\;S_1=0$

Nous calculons
$n>0, \displaystyle \Large S_{n+1}-S_n=\int_n^{n+1}\frac{x-\frac12-n}{x}\text{d}x$
$n>0, \displaystyle \Large S_{n+1}-S_n=1-(n+\frac12)\ln(\frac{n+1}{n})$
En sommant les différences, on obtient
$n>0, \displaystyle \Large S_{n+1}-S_1=n-\ln(\frac{(n+1)^{n+\frac32}}{(n+1)!})$
En appliquant Stirling, pour n suffisamment grand
$n>0, \displaystyle \Large S_{n+1}\sim n-\ln(\frac{e^{n+1}}{\sqrt{2\pi}})$
$n>0, \displaystyle \Large S_{n+1}\sim n-n+\ln(\frac{\sqrt{2\pi}}{e})$
$n>0, \displaystyle \Large \lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=\ln(\frac{\sqrt{2\pi}}{e})$