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structure algébrique

Posté par
solidad01 25-03-18 à 00:48

Bonsoir tout le monde , j'ai une question concernant l'exercice suivant :

alors on a j=e^{i\frac{2\Pi}{3}} et on a l'ensemble : E=\begin{Bmatrix} a+bj /(a,b) \in \mathbb Z² \end{Bmatrix}

1) J'ai montré que j^{3}=1 et que 1+j+j²=0

2) J'ai montré que (E,+,x) est un anneau commutatif unitaire

3) La question qui pose probleme. Soit F l'ensemble des éléments E* qui admet un élément symétrique par rapport à x , determinez l'ensemble F en détail.

merci

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 11:55

Bonjour,

  Montre que:

\dfrac{1}{a+bj}=\dfrac{a-b}{a^2+b^2-ab}-\dfrac{b}{a^2+b^2-ab}\,j

Les couples (a,b)\in\mathbb{Z}^2 différents de (0,0) doivent être tels que:

    a^2+b^2-ab (toujours non nul) divise a et b

Il n' y en a pas tellement...

Posté par
solidad01re : structure algébrique 25-03-18 à 12:39

lake @ 25-03-2018 à 11:55



\dfrac{1}{a+bj}=\dfrac{a-b}{a^2+b^2-ab}-\dfrac{b}{a^2+b^2-ab}\,j


Comment avez vous fait pour montrer cela ?

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 12:54

\dfrac{1}{a+bj}=\dfrac{\overline{a+bj}}{(a+bj)\overline{(a+bj)}}=\dfrac{a+b\bar{j}}{(a+bj)(a+b\bar{j})}

au numérateur, tu sais \bar{j}=j^2=-1-j

au dénominateur, tu développes et tu utilises aussi ce que tu sais avec la 1).

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 12:56

Je dois quitter mais pour information, tu dois tomber sur 6 complexes:

  1,-1,j,-j,1+j,-1-j

Posté par
solidad01re : structure algébrique 25-03-18 à 13:00

a oué c'est tres intelligent ! et maintenant je dois montrer que \frac{a-b}{a²+b²-ab} \in \mathbb Z et \frac{-b}{a²+b²-ab} \in \mathbb Z ?

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 13:04

Tu dois trouver les couples (a,b)\not=(0,0) d'entiers relatifs tels que:

\dfrac{a-b}{a^2+b^2-ab} et \dfrac{-b}{a^2+b^2-ab} soient des entiers relatifs.

Il y en a 6. (voir au dessus)

Cette fois ci, je quitte  

Posté par
solidad01re : structure algébrique 25-03-18 à 13:21

je dois trouver les couples (a,b) tels que : b=ka²+kb²-kab et a=k'a²+k'b²-k'ab ?

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 16:51

Oui mais il faut  "limiter" les possibles.

A=a^2+b^2-ab divise a-b et -b équivaut à:

A=a^2+b^2-ab divise a et b (à montrer éventuellement).

On élimine "beaucoup" de possibilités en montrant que nécessairement:

   |a|<2 et |b|<2 (strictement).

Tu montres d'abord que a^2+b^2-ab>0 pour tout couple d'entiers relatifs (a,b)\not=(0,0) (Un signe du trinôme en a à b fixé par exemple).

Supposons a\geq 0:

  On étudie le signe de la différence:  d_1=a^2+b^2-ab-a=a^2-(b+1)a+b^2

    le discriminant du trinôme en a vaut -(b-1)(3b+1); tu peux vérifier que si |b|\geq 2, il est négatif donc d_1>0
  
Supposons a\leq 0:

  On étudie le signe de la différence:  d_2=a^2+b^2-ab+a=a^2-(b-1)a+b^2

    le discriminant du trinôme en a vaut -(b+1)(3b-1); tu peux vérifier que si |b|\geq 2, il est négatif donc d_2>0

On vient donc de prouver que si |b|\geq 2, alors a^2+b^2-ab>|a|

Donc nécessairement |b|<2 et vu la symétrie du problème |a|<2.

Il reste à examiner ce qui se passe quand a et b prennent les valeurs -1,0,1

On tombe bien sur les 6 couples (a,b) qui correspondent aux valeurs de 12h56.

Tout ça n'est pas très élégant mais faute de mieux...

  Au fait (F,\text{x}) est un groupe...

Posté par
solidad01re : structure algébrique 25-03-18 à 18:59

c'est un peu dur tout ça ! je vous remercie infiniment

Posté par
Sylvieg Moderateurre : structure algébrique 25-03-18 à 19:20

Bonjour solidad01,
Bonjour lake
Je trouve ce sujet intéressant. Mais Je n'avais pas le temps de regarder avant cette fin d'après midi.
A partir de "A = a2+b2-ab divise a et b ", je propose un cheminement un peu différent.

A - ab = (a-b)2 et A + ab = a2+b2 ; donc A - |ab| 0 . D'où |ab| A .

Si a est non nul et A divise a alors |A||a| . D'où |ab| A |a| .
Ce qui donne |a||b| |a| ; donc |b| 1 car |a| > 0 .

De même, si b est non nul alors |a| 1 .

Si a = 0 alors b est non nul et b2 divise b . D'où b = 1 .
De même, si b = 0 on a a =1 .

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 22:22

Bonsoir Sylvieg,

J'ai tardé avant de poster en espérant trouver moins "laborieux". Mais je n'ai pas trouvé...

à toi! C'est bien ficelé ton affaire

>>solidad01, si tu repasses par ici, lis attentivement la solution de Sylvieg et oublie la mienne...

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 22:28

Euh... quand je dis:

  

Citation :
J'ai tardé avant de poster


  il s'agit bien de 16h51!

Posté par
solidad01re : structure algébrique 25-03-18 à 22:48

Bonsoir , merci d'abord pour tout , j'ai un peu du mal à comprendre pourquoi :

Sylvieg @ 25-03-2018 à 19:20


. D'où  b = 1 .
.

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 23:04

Voyons,  b est non nul:

Si b^2 divisé b, alors \dfrac{b}{b^2}=\dfrac{1}{b} est un entier donc b divise 1

Posté par
solidad01re : structure algébrique 25-03-18 à 23:04

et si je trouve par exemple b=1 comment je vais savoir le a qui va avec ?

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 23:11

Au pire, et sans se poser de questions:

A=a^2+b^2-ab divise a et b.

Tu sais que a et bt prendre que les valeurs -1,0,1

Bref' tu n'as que 9 cas à envisager et même 8 en éliminant le couple (0,0).

Ce n'est pas la mer à boire...

Posté par
solidad01re : structure algébrique 25-03-18 à 23:14

ce n'est pas de l'arithmétique tout ça ?

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 23:18

Mais si!

Posté par
solidad01re : structure algébrique 25-03-18 à 23:21

c'est bon j'ai compris merciii beaucoupp !!!  je pense je ne vais pas arrêter de vous remercier pendant toute l'année

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 23:22

Tu peux surtout remercier Sylvieg qui a été plus adroite qu'en moi

Posté par
lakere : structure algébrique 25-03-18 à 23:24

J'ai un correcteur orthographique qui me fait des misères

Posté par
solidad01re : structure algébrique 25-03-18 à 23:33

Posté par
Sylvieg Moderateurre : structure algébrique 26-03-18 à 08:42

Bonjour,

Citation :
J'ai un correcteur orthographique qui me fait des misères
J'ai cru que c'était l'heure tardive qui était en cause

Une petite question :
Pour justifier A = a2+b2-ab divise a et b , ne faudrait-il pas démontrer l'unicité de la forme x + yj avec x et y réels ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : structure algébrique 26-03-18 à 10:35

Je n'ai pas le temps d'approfondir, mais je me demande s'il n'est pas possible de démontrer que tous les éléments z non nuls de E vérifient |z| 1 .

En appliquant à z et 1/z , on pourrait alors en déduire ceci :
Si z de E est inversible alors |z| = 1 .

Posté par
lakere : structure algébrique 26-03-18 à 11:50

Citation :
je me demande s'il n'est pas possible de démontrer que tous les éléments  z  non nuls de  E  vérifient  |z| 1 .


Tu as raison:

   |z|^2=a^2+b^2-ab

L'équation en entiers a^2+b^2-ab=0 n'a que le couple (0,0) solution. Elle n'a même que ce couple solution dans \mathbb{R}^2

  et on a bien si z\in E avec z\not=0, alors |z|\geq 1

et du coup si z\in F, |z|=1

On se retrouve avec a^2+b^2-ab=1

Posté par
lakere : structure algébrique 26-03-18 à 13:19

Géométriquement, avec |z|=1, c'est quasiment immédiat:

structure algébrique

Posté par
Sylvieg Moderateurre : structure algébrique 26-03-18 à 15:29

Oui, c'est bien ça
Et géométriquement, on voit bien que le complexe 0 est le seul élément de E dont l'image est à l'intérieur du disque de centre O et de rayon 1

Ce qui a fait tilt, c'est ta remarque " Au fait (F,) est un groupe " :
C'est le groupe d'ordre 6 des racines sixièmes de l'unité ... qui sont toutes de module 1 .

Posté par
lakere : structure algébrique 26-03-18 à 16:13

Bonjour Sylvieg,

Pour que les choses soient claires:

Je passe derrière toi en appliquant tes (très) bonnes idées.
J'ai beaucoup oublié mais mes records en matière d'oubli se situent en Algèbre (générale et linéaire).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : structure algébrique 26-03-18 à 18:24

Pour les bonnes idées, c'est comme l'œuf et la poule

J'ai encore quelques restes et un minimum d'intuition en algèbre.
Par contre, pour ce qui est de l'élaboration de superbes figures sophistiquées, je ne peux pas avoir de restes : Je n'ai jamais eu le courage d'apprendre
Si, un peu de Géoplan à une époque préhistorique...

Posté par
solidad01re : structure algébrique 26-03-18 à 19:26

Sylvieg @ 26-03-2018 à 08:42

Bonjour,

Une petite question :
Pour justifier  A = a2+b2-ab   divise  a  et  b , ne faudrait-il pas démontrer l'unicité de la forme  x + yj   avec  x et  y  réels  ?


j'ai pas besoin de démontrer ça non ? vu que moi je cherche a et b tels que a²-ab+b² divises a et b ?


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