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structures

Posté par
aya4545 13-05-22 à 16:22

bonjour
priere m aider à surmonter ce blocage

voici l enoncé de l exercice
pour tout (a,b) de $(]2 ; +\infty[)^2   \quad  a*b=1+e^{\ln (a-1) \times \ln (b-1)}$
1)a) montrer que * est une  LCI  dans I
b) montrer que * est  commutative admet un elt neutre $\epsillon$ que l on determinera
2) soit f l application $f: ]0,+\infty[ \to I \quad f(x)=1+e^{x^2}$
a) montrer que f est un isomorphisme de $( ]0,+\infty[ ,\times)  \to  (I,*)$
b) en deduire que (I,*)  est un groupe commutatif
c) soit $a \in I$ en utilisant l isomorphisme f determiner en fonction de a le symetrique a' de a
dans (I,*)
3) $H=\lbrace 1+e^{4^n} /  n \in \Z\rbrace$   montrez que H est un sous groupe de $(I,*)$
4)on pose $a=1+\sqrt e$ montrez que
$a*a*.......*a_ {2018 fois}=1+\sqrt[2^{2018}]{e}$
jusqu a 2)b) ca pose pas de probleme    (le neutre  pour * est $\epsilon =1+e)$
pour 2)c)  j ai pu  trouver le symetrique a' de a en fonction de a
$a'=1+e^{\frac{1}{\ln (a-1)}$ mais la question dit qu il falait utiliser l isomorphisme f ( j ai trouvé la bijection reciproque $f^{-1} \quad f^{-1} (x)=\sqrt{\ln (x-1)}) \quad \forall x>2$
j ai fait la question 3) je bloque dans 4) la notion de structure est noviste pour moi et ca me peine et merci

Posté par re : structures 13-05-22 à 17:52

Bonjour,

Qu'as-tu trouvé pour a' à la question 2c) ?

Pour 4), utilise la 3). Quand tu composes par * 2 éléments de H, tu vas trouver un élément de la même forme , c'est à dire de la forme 1+exp(4^p), avec p.

Ainsi tu trouveras facilement ce que, si aH, donne a*a*...*a appliqué 2018 fois.

Ensuite il suffit de remarquer que 1+(e) est un élément de H et de déterminer la valeur du n correspondant.

Posté par re : structures 13-05-22 à 18:00

salut

2c/ ben oui c'est bon !!

dans tous les cas il faudra "revenir en arrière" donc utiliser la bijection réciproque ...

f : (J = ]0, +oo[, x) --> (I, *)

dans J l'opération est la multiplication naturelle dans l'inverse de a est b = 1/a et le neutre est 1

ab = 1 et f est un isomorphisme donc $f(ab) = f(1) \iff f(a) * f(b) =1 + e \iff (1 +e^{a^2}) *(1 +e^{b^2}) = 1 +e \iff 1 + e^{a^2 b^2} = 1 + e \iff ...$

Posté par re : structures 13-05-22 à 18:11

damned !! je l'ai fait à l'envers ...

Posté par re : structures 13-05-22 à 18:15

@aya4545 Excuses, je n'avais pas vu que tu avais indiqué la valeur de a'.

Faut dire aussi que tu devrais aérer un peu plus tes textes, aller à la ligne, créer des interlignes,, etc...

Posté par re : structures 13-05-22 à 19:06

merci larrech merci carpediem
j ai trouvé pour valeur de

$a'=1+e^{\frac{1}{\ln (a-1)}$

d autre part $a=1+\sqrt e \not \in H$ en effet la valeur de n pour que a s ecrive sous forme $1+e^{4^n}$ est $n=-\frac 1 2 \not \in Z$

pour 4)
$a \in I\implies \exists b >0 f(b)=a j ai trouvé b =\frac {\sqrt2}2$

$a*a*.....*a_{2018 fois} =[f(\frac {\sqrt2}2)]^{2018}=1+e^{\frac1{2^{2018}} \\$

Posté par re : structures 13-05-22 à 19:24

Tu as raison, mais je n'ai pas tout à fait tort.

Soit a=1+exp(4ⁿ), on trouve facilement que

a*a*.....*a_{2018 fois}=1+exp(4²⁰¹⁸ⁿ)=1+exp(2^2018(2n))

puis 2n=-1 qui est bien dans donne 1+exp(2^-2018)

Posté par re : structures 13-05-22 à 20:16

merci larrech
ca ressemble au probleme arithmetique Bézout

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