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Structures algébriques

Posté par
mouloy
28-03-20 à 02:02

Bonjour , j'ai un exercice que j'ai du mal à terminer , et que je dois rendre ******et Merci d'avance !!
on a (x;y)R+
x*y = xy2+1 +yx2+1
et s(x)=(ex - e-x)/2
1)montrer QUE S est un isomorphisme de (R;+) vers (R;*)
2) xR  n2  On pose
xn = x*x*x*......*x
Calculer xn




C'est par rapport à la derniere question ou je suis bloquée ; Merci encore

Posté par
carpediem
re : Structures algébriques 28-03-20 à 09:55

salut

il manque des parenthèses ...et plutôt que des "on a" il serait souhaitable d'apprendre à recopier un énoncé exact et complet au mot près ...

je suppose que x * y = x \sqrt {y^2 + 1} + y \sqrt {x^2+ 1}

on veut x^n ... ben peut-être commencer par calculer x^2 et x^3 et voir ce qui se passe ...

Posté par
carpediem
re : Structures algébriques 28-03-20 à 09:58

enfin la question 1/ doit probablement servir ... et en notant t la réciproque de s on a donc :

s(x + y) = s(x)s(y) \iff t(xy) = t(x) + t(y)

Posté par
mouloy
re : Structures algébriques 29-03-20 à 04:06

est-ce que cette équivalence est toujours valable ?

Posté par
mouloy
re : Structures algébriques 29-03-20 à 04:07

Déjà merci pour votre réponse , j'essaierai de mieux recopier l'énoncé prochainement !

Posté par
mouloy
re : Structures algébriques 29-03-20 à 04:33

donc ça donne :
xn = t-1 ( t(x*x* ......* x))
xn = t-1 ( t(x)+ t(x)+ .....+ t(x))
xn = t-1 ( nt(x))



C'est juste ?

Posté par
mouloy
re : Structures algébriques 29-03-20 à 04:36

je suppose que cette equivalence dont vous m'avez parlé est valable juste au vac ou s est un isomorphisme (car c'est un morphisme bijectif) sinon on ne pourra pas utiliser la reciproque ?
c'est bien ça ? j'espere que je ne me suis pas trompé . Merci d'avance !

Posté par
carpediem
re : Structures algébriques 29-03-20 à 10:25

oui c'est parce que s est bijectif qu'on peut ...

maintenant pour conclure il faut calculer explicitement ce que vaut t(x) ... pour finir ton calcul...

Posté par
carpediem
re : Structures algébriques 29-03-20 à 10:26

et n'oublie pas que t^{-1} = s

Posté par
mouloy
re : Structures algébriques 29-03-20 à 12:40

cela donne que :
xn = s(ns-1 (x))

On s'arrete ici ?

Posté par
carpediem
re : Structures algébriques 29-03-20 à 15:37

ben non !!! on veut évidemment une expression sans s ni t ... qui ne doivent servir qu'au début du calcul ...

Posté par
mouloy
re : Structures algébriques 29-03-20 à 16:45

comment je peux me debarrasser de t ?

Posté par
lake
re : Structures algébriques 29-03-20 à 16:50

Bonjour,

s: x\mapsto \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}

Il faut déterminer l'expression analytique de s^{-1}

Posté par
lake
re : Structures algébriques 29-03-20 à 16:50

Erreur:

   s: x\mapsto \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}

Posté par
mouloy
re : Structures algébriques 29-03-20 à 17:12

bonjour , déjà merci pour votre réponse  
Concernant l'expression de la réciproque j'ai essayé de la calculer mais ça donne ceci :
je pose :       t(x) = y
s(y) = x
   \dfrac{e^y-e^{-y}}{2} = x
      ey[sup]- e-y[/sup] = 2x

si je fais entrer ln cela ne va rien donner

Posté par
lake
re : Structures algébriques 29-03-20 à 17:16

Voyons:

  s(x)=y\Longleftrightarrow y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\Longleftrightarrow e^{2x}-2y\,e^x-1=0

Une équation du second degré en e^x

Posté par
mouloy
re : Structures algébriques 29-03-20 à 17:23

D'accord , donc lorsque je trouve la reciproque il ne restera qu'à remplacer t et s par ses valeurs ?

Posté par
lake
re : Structures algébriques 29-03-20 à 17:29

Oui en utilisant ceci:

  

Citation :
xn = s(ns-1 (x))


En principe, pour contrôle, tu dois tomber sur:

  x^{(n)}=\dfrac{1}{2}\left[(\sqrt{x^2+1}+x)^n-(\sqrt{x^2+1}-x)^n\right]

Posté par
mouloy
re : Structures algébriques 29-03-20 à 17:34

Oui , merci pour vos réponses ...
Bonne fin de journée en confinement

Posté par
lake
re : Structures algébriques 29-03-20 à 17:37

Bonne fin de journée à toi et de rien mouloy

Posté par
carpediem
re : Structures algébriques 29-03-20 à 18:47

lake : dommage de donner la réponse ...

c'était un bon exercice à laisser mener jusqu'au bout par mouloy (avec nos aides et corrections éventuelles) ...

Posté par
mouloy
re : Structures algébriques 29-03-20 à 19:04

Je suis désolée ,c'est moi qui est posé plein de questions à la fois , il aurais fallu que je fournisse plus d'efforts
N'empêche , merci à vous deux! Monsieur lake et à vous Monsieur carpediem
de m'avoir aidé et repondu si rapidement !
Je vous souhaite une bonne fin de journée et stay safe !

Posté par
lake
re : Structures algébriques 29-03-20 à 19:09

>>carpediem,

La « réponse » en soit n'a aucune importance. Tout est dans la manière d'y parvenir.
En l'occurrence, je l'ai donnée pour contrôle.
De mon point de vue, il n'y a aucun problème vis à vis de la charte de notre forum.

Posté par
carpediem
re : Structures algébriques 29-03-20 à 20:47

mouloy : ne soit pas désolé : on t'aurait accompagné (plus ou moins en continu) à partir de ton msg de  17h12 et celui de lake qui suit ...

lake : certes tu n'as pas résolu le pb ... mais une réponse guide toujours !!!

or le tâtonnement permet de se construire une expérience personnelle ...



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