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suite
Bonjour
pour passer le temps je vous propose l'exercice suivant :
montrer que la suite Un+1=E(
Un) + 1
converge , ( E est la partie entiere ) , on posera aussi Uo=3
Si l'énoncé est à comprendre avec u0 = 3, il suffit de calculer u1 pour conclure avec la remarque de Ulmiere.
+, la conclusion est la même et ça casse déjà plus une patte En fait, 2 est la seule limite possible pour u, parce qu'une telle limite, stationnaire, doit vérifier . Ou si on préfère, on posant
, on doit avoir
. C'est l'équation qui définit le nombre d'or!
Le trinôme en m est du signe de son coefficient dominant (1) à l'extérieur de ses racines -0.61... et 1.61...
Donc si L est solution, on doit avoir forcément , i.e
.
Ce ne laisse que trois possibilités, et en essayant les trois,
est la seule qui convienne, indépendemment de la valeur de
tant qu'elle est entière.
Un problème plus intéressant serait montrer que la suite converge vers pour n'importe quel , mais je ne suis pas certain que ce soit vrai
On peut démontrer que si un 
4 alors un+1 < un :
En posant x = un, on a (x+1)(x-2) qui est positif ou nul.
D'où : un - un - 2 0.
Ce qui donne 1 + un 
un - 1.
D'où : E(un) < un - 1
Et enfin un+1 < un.
Si n 1 alors un et un+1 sont des entiers.
D'où :
Si n 1 et un 4 alors un+1 un - 1.
On en déduit qu'il existe un indice k tel que uk 3.
uk = 0, 1, 2 ou 3.
Et ensuite on a une suite vite stationnaire.
Je crois que ceci ne va pas :
D'où : E(
un) < un - 1
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