Bonjour,

1) Calcule les premiers termes de la suite avec la calculatrice, et fais une conjecture.
2) Récurrence sur n

Mais pour calculer les premier termes de la suite il faut avoir Uo alors que la on sait juste qu'il est comprit entre 0 et 5. Dois-je prendre n'importe quel valeur comprise entre 0 et 5 pour calculer les premier termes?

???????

Prends plusieurs valeurs différentes pour U0, et regarde ce que cela donne...

3) Tu peux montrer par récurrence que : U(n) =< U(n+1).
Attention à l'initialisation.

désolé d'avoir quitter sans avoir fini mais je devais me préparer.
J'ai fini l'exercice avec tes pistes.
1) quand je prend
Uo=1 je trouve U1= 5 U2= 5
Uo=2 je trouve U1=10; U2= 5 10
Uo=3 je trouve U1= 15;U2= 5 15
Dans tous cas on constate que la suite est croissante.
Lim Un = +
x +
2)Initialisation:
n=1 et Uo=2. On a U1= 10 (=3.2)
U1  Uo

Hérédité:
On suppose que Un est compris entre[0;5]pour n fixé quelconque. On veut montrer alors que 0 Un+1 5
On pose f(x)= 5x
f est dérivable sur[0;5]
f'(x)= (5x+10)/2x
or 2x 0et 5x+10 0

f est strictement croissante sur[0;5]donc si 0 x 5
  f(0) f(Un)f(5)
donc si 0 Un 5
       0 Un+1 5
conclusion: 0 Un 5 pour tout n appartenant à N

3)Un+1-Un= 5Un - Un
5x0 et -x0
Comme 0Un5; Un+1-Un 0
La suite Un est croissante.
Pour la convergence je ne sais pas comment faire.
Merci de me corriger et encore une fois je suis vraiment désolé pour le retard

1) Oui, la suite est croissante.
Non, elle ne tend pas vers +oo. Elle tend vers 5

2) L'initialisation doit être fait avec un U0 quelconque de [0;5], et non avec un cas particulier. C'est plus délicat.
Il faut montrer que : pour tout U0 dans [0;5] U1=V(5U0) est aussi dans [0;5]. Pour cela, il suffit d'étudier les variations de f(x)=V(5x) sur [0;5]

Hérédité : la méthode est bonne, mais excessive.
Tu n'as pas besoin de dériver pour dire que la fonction racine est croissante : c'est une question de cours.
Tu peux simplement enchaîner les encadrements :
0 =< Un =< 5
0 =< 5Un =< 25
On applique la fonction racine carrée, qui est croissante :
0 =< V(5U_n) =< 5
0 =< U(n+1) =< 5

3) C'est faux.
-Un n'est pas positif !

f(x)=V(5x) sur [0;5] est strictement croissante. Le faite de dire que la fonction est croissante sur [0;5] suffit pour dire que U1 Uo ?

En fait, non.
U1 >= U0
<=> V(5U0) >= U0
<=> 5U0 >= U0²
<=> U0 =< 5
donc c'est vrai

3) On avait conjecturer dans 1) que Un était croissant (U1 supérieur à Uo). Je ne comprend pas pourquoi là elle est pas croissante?

Dans 1) je comprend pas comment ta trouvé 5 pour la limite?

1) Il suffit de calculer les 15 premiers termes (par exemple avec un tableur), et on peut conjecturer la limite

3) La suite est bien croissante.
On montre par récurrence que Un =< U(n+1)
Initialisation : mon message précécent
Hérédité : on en a déjà parlé

3) Pour la convergence et la limite de la suite j'ai fait ceci:
La suite est croissante et majorée par 5, elle est donc convergente vers un réel L de ]0;5]. Limite de L de Un est un réel de ]0;5[ qui vérifie
L=V5L
L²-5L=0
C'est donc nécessairement5.

Ou O !

Ah oui c'est vrai. Merci beaucoup pour l'aide que tu ma apporté Nico; c'est trop sympa surtout que pour les suites je suis très lente pour comprendre.Je t'en remerci.

Je t'en prie.