Bonjour,
Ça me rappelle la conjecture de Syracuse. Intéressant

Bonjour,

Déjà on sait que si est le nombre de chiffres de u_n alors , donc si u_n a au moins 4 chiffres, .

Donc déjà c'est beaucoup plus simple que Syracuse, puisqu'on voit tout de suite quon retombe toujours dans , donc on finit toujours par avoir un cycle.

Il reste simplement à montrer si le cycle contient (ou pas) 4.

Et pour ça il suffit de vérifier avec un programme pour un nombre fini de valeurs (les entiers à au plus trois chiffres).

Un brouillon de piste :
Démontrer que si le nombre de départ est supérieur à 1000, la suite décroit jusqu'à descendre sous 1000.
Il n'y aura alors qu'un nombre fini de vérifications à faire.

En notant n le nombre de départ et le supposant compris entre 1000 et 9999, il s'écrit 1000m+100c+10c+u . Son successeur sera m²+c²+d²+u² 481 .

1281 < 1000. On va déjà jusqu'à 10¹² .

Après, diviser 10¹² par 81 et recommencer ?
Peut-être plus simple avec 100 au lieu de 81 ?

Bonjour Schtromphmol,
Et ben voilà

Peut-être détailler u_n+1 81 N ?

D'ailleurs j'ai pas pu résister à le faire pour 2 jusqu'à 999 et ça marche sauf pour [7,10,13,19,23,28,31,32,44,49,68,70,79,82,86,91,94,97,100,103,109,129,130,133,139,167,176,188,190,192,193,203,208,219,226,230,236,239,262,263,280,291,293,301,302,310,313,319,320,326,329,331,338,356,362,365,367,368,376,379,383,386,391,392,397,404,409,440,446,464,469,478,487,490,496,536,556,563,565,566,608,617,622,623,632,635,637,638,644,649,653,655,656,665,671,673,680,683,694,700,709,716,736,739,748,761,763,784,790,793,802,806,818,820,833,836,847,860,863,874,881,888,899,901,904,907,910,912,913,921,923,931,932,937,940,946,964,970,973,989,998]
qui finissent par être stationnaires égal à 1.

Donc on retombe toujours sur 4 ou 1 (le 1 était facile à voir par exemple avec 10 en point de départ).

Oups, je voulais écrire u_n+1 < u_n .

Bah _{u_{n+1} \leq 81N < 100N} et si N > 3 donc .

Bah et si donc .

D'accord

Merci pour la démonstration.
Au final, on montre qu'au dessus de 1000 Un+1<Un et que pour tous les nombres compris entre 1 et 999, ils finissent par converger vers la suite 1 ou l'autre.

Oui,
Si u_n < 1000 alors u_n+1 381 < 1000 .

Si u_n >1000 alors u_n+1 < u_n ; donc u_n+1 u_n-1 .
Si u_n = 1000 + d alors u_n+d < 1000 .

salut

sujet déjà tombé lors d'olympiades ou autre ce me semble-t-il ...

on peut remarquer que si

alors

et si

alors quand N --> +oo