Niveau autre

Suite définie par une intégrale

Posté par
Metaa 30-08-18 à 17:53

Bonjour,

Je me retrouve bloqué dans la seconde partie d'un exercice, (les deux parties étant indépendantes).

On note pour tout entier naturel n : $w_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos^n(t)}dt$

J'ai résolu les premières questions, à savoir : calculer $w_0$ et $w_1$ , montrer que $w_n$ est décroissante, qu'elle est minorée par 0 et donc qu'elle converge.

à partir d'ici, je suis bloqué : Soit $n\in N$ , On pose $f_n:t\rightarrow cos^{n+1}(t)sin(t)$ . Je dois calculer f'n et en déduire que $w_{n+2}=(n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos^n(t)sin^2(t)}dt$

Je ne suis déjà pas sûr du calcul de la dérivée qui est le suivant :

$f_n=u\times v$ où u(t) = $cos^{n+1}(t)$ et v(t) = $sin(t)$
u'(t)= $-(n+1)\times cos^n(t)\times t \times sin(t)$ et v'(t) = $cos(t)$

J'obtiens ainsi $f'_n=-(n+1)\times cos^n(t) \times t \times sin^2(t) + cos^{n+2}(t)$

En fait, je ne suis pas très sur de la dérivée de mon $cos^{n+1}$

Je vous remercie d'avance pour vos pistes et indices de réflexion

Posté par re : Suite définie par une intégrale 30-08-18 à 17:56

bonjour
ta dérivée de u est fausse.

Posté par re : Suite définie par une intégrale 30-08-18 à 17:59

Bonsoir !
Dérivée de $z^n$ : $nz^{n-1}z'$ .
Maintenant si tu ne sais pas dériver la fonction "cosinus" il vaut mieux de ne pas essayer de faire cet exercice.