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Suite définie par une intégrale

Posté par
Metaa
30-08-18 à 17:53

Bonjour,

Je me retrouve bloqué dans la seconde partie d'un exercice, (les deux parties étant indépendantes).

On note pour tout entier naturel n : w_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos^n(t)}dt

J'ai résolu les premières questions, à savoir : calculer w_0 et w_1, montrer que w_n est décroissante, qu'elle est minorée par 0 et donc qu'elle converge.

à partir d'ici, je suis bloqué : Soit n\in N, On pose f_n:t\rightarrow cos^{n+1}(t)sin(t). Je dois calculer f'n et en déduire que w_{n+2}=(n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos^n(t)sin^2(t)}dt

Je ne suis déjà pas sûr du calcul de la dérivée qui est le suivant :

f_n=u\times v où u(t) = cos^{n+1}(t) et v(t) = sin(t)
u'(t)=-(n+1)\times cos^n(t)\times t \times sin(t) et v'(t) = cos(t)

J'obtiens ainsi f'_n=-(n+1)\times cos^n(t) \times t \times sin^2(t) + cos^{n+2}(t)

En fait, je ne suis pas très sur de la dérivée de mon cos^{n+1}

Je vous remercie d'avance pour vos pistes et indices de réflexion




Posté par
matheuxmatou
re : Suite définie par une intégrale 30-08-18 à 17:56

bonjour
ta dérivée de u est fausse.

Posté par
luzak
re : Suite définie par une intégrale 30-08-18 à 17:59

Bonsoir !
Dérivée de z^n : nz^{n-1}z'.
Maintenant si tu ne sais pas dériver la fonction "cosinus" il vaut mieux de ne pas essayer de faire cet exercice.

Posté par
Metaa
re : Suite définie par une intégrale 30-08-18 à 18:42

Je viens de me corriger, u'(t)=(n+1)cos^n(t)\times (-sin(t))

Et donc f'_n=(n+1)cos^n(t)\times (-sin^2(t))+cos^{n+2}(t)

Posté par
matheuxmatou
re : Suite définie par une intégrale 30-08-18 à 18:46

remplace ton sin² par (1-cos²) et ça pourrait donner quelque chose !

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