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Suite et inégalité

Posté par
Medhs 16-07-23 à 11:56

Bonjour, pouvez vous m'aider dans cette exercice:
Montrer que: \frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\frac{1}{103}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\succ\frac{1}{2}

Posté par
heklare : Suite et inégalité 16-07-23 à 11:59

Bonjour

Écrivez que chaque terme est plus grand que le plus petit de la liste.

Posté par
heklare : Suite et inégalité 16-07-23 à 12:01

Pour être moins abscons, un exemple

\dfrac{1}{150}\geqslant \dfrac{1}{200}

Posté par
Medhsre : Suite et inégalité 16-07-23 à 12:15

Ok.

Posté par
Medhsre : Suite et inégalité 16-07-23 à 12:20

On va obtenir
1/101>1/200
     +               +
1/102>1/200
      +             +
       ...   >        ...
       +    >       +
1/200 1/200

Posté par
heklare : Suite et inégalité 16-07-23 à 12:48

On a bien

\dfrac{1}{101}\geqslant \dfrac{1}{200}
\dfrac{1}{102}\geqslant \dfrac{1}{200}
\dfrac{1}{103}\geqslant \dfrac{1}{200}
\vdots
\dfrac{1}{150}\geqslant \dfrac{1}{200}
\vdots
\dfrac{1}{200}\geqslant \dfrac{1}{200}

maintenant, on effectue la somme

\dfrac{1}{101}+ \dfrac{1}{102}+\dots + \dfrac{1}{200}\geqslant \dfrac{1}{200}+\dfrac{1}{200}+\dots+ \dfrac{1}{200}

On simplifie

Posté par
Medhsre : Suite et inégalité 16-07-23 à 12:49

Mais le probléme est que 1/200 il se repéte 99 fois. Il faut que se répete 100 fois pour obtenir 1/2. Que pensera vous?

Posté par
heklare : Suite et inégalité 16-07-23 à 12:57

De 1 à 10 il y a 10 termes
ou en généralisant de 1 à n il y a n termes.


De 101 à 200, il y a  100 termes et non 99.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite et inégalité 16-07-23 à 14:48

Bonjour,
Je me permets de compléter les explications pour compter le nombre de termes :
100+1, 100+2, 100+3, ....., 100+99, 100+100.

Posté par
Medhsre : Suite et inégalité 16-07-23 à 15:17

Oui c'est vrai, je ne me suis pas bien concentré
Merci pour votre aide

Posté par
heklare : Suite et inégalité 16-07-23 à 15:43

et \dfrac{100}{200}=\dfrac{1}{2}

De rien

Posté par
lakere : Suite et inégalité 17-07-23 à 16:41

Bonjour à tous,
Je trouve ce sujet intéressant. Histoire de le relancer :
Il s'agit du terme u_{100} de la suite (u_n) définie par u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{n+k}
On peut montrer que \dfrac{1}{2}\leq u_n\leq 1 et que cette suite est croissante donc convergente.
Sa limite est \ln\,2.
Pour le montrer, il peut être utile de prouver que :

u_n=\sum_{k=0}^{2n-1}\dfrac{(-1)^k}{k+1}

Posté par
Medhsre : Suite et inégalité 20-07-23 à 23:21

Je n'ai pas comprends lake.


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