il faut faire
S = 1 + 2 + 3 +......+ (n-1) + n
S = n + (n-1) + (n-2) +........+ 2 + 1
___________________________________________
en faisant la somme membre à membre tu trouves
2S= (n+1)+(n+1)+(n+1)+......+(n+1)
2S=n(n+1)
S=n(n+1)/2 CQFD

Bonjour.
Une autre méthode, assez originale, est la suivante :
on sait que (x+1)^2=x^2+2x+1.
En remplaçant successivement x par 1,2,...,n, il vient n égalités:
2^2=1^2+2.1+1
3^2=2^2+2.1+1
...
(n+1)^2=n^2+2.n+1
En additionnant membre à membre ces n égalité, il en vient une dernière dans laquelle certains termes du premier membre sont dans le second membre et on les simplifie.  De plus, on peut mettre 2 en évidence dans n termes du second membre.  Il reste :
(n+1)^2=1+2.(1+2+...+n)+(1+1+...+1)
Or, 1+1+...+1=n (car viennent des n égalités)
Ainsi,
(n+1)^2=1+n+2.A
En isolant A, il vient :
2A=(n+1)^2-(n+1)=(n+1)(n+1-1)=n(n+1)
Donc, A=n(n+1)/2.

Tu peux réaliser la même chose avec (x+1)^3 pour en déduire B=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
et chose plus troublante, avec (x+1)^4,
C=1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
(le calcul d'une somme de volumes se traduit en le calcul d'une surface!!!)

Merci jo_corneille
Merci ma_cor