Niveau Master Maths

Suite uniformément équicontinue mais pas uniformément convergent

Posté par
azerty248 30-12-21 à 16:09

Bonjour,

Je post ce message car je bloque sur une question toute bête d'une annale de M1 en analyse fonctionnelle.
La question est de trouver une suite de fonction $(f_n)$ continues et bornées sur $[0,1]$ et à valeurs dans qui soit uniformément équicontinue et qui ne converge pas uniformément sur $[0,1]$ .

Si certains d'entre vous auraient des idées d'exemple je vous en serai très reconnaissant, j'ai beau me creuser la tête je ne trouve rien.

Posté par re : Suite uniformément équicontinue mais pas uniformément conve 30-12-21 à 16:45

Bonsoir,
il suffit que la suite ne soit pas convergente, me semble t-il.

Posté par re : Suite uniformément équicontinue mais pas uniformément conve 30-12-21 à 17:12

salut

une fonction continue sur [0, 1] est nécessairement bornées ...

regarder $f_n(x) = x^n$ ou $f_n (x) = \sqrt[n] x$ peut-être ....

Posté par re : Suite uniformément équicontinue mais pas uniformément conve 30-12-21 à 17:49

Merci pour vos réponses. Finalement j'ai réussi à trouver en prenant la suite $f_n(x)=n$ tout simplement qui est bien uniformément équicontinue et n'admet pas de sous-suite qui converge uniformément.

Pour ce qui est du fait que toute fonction continue sur un compact est bornée je le savais évidemment haha, je ne faisais que répéter l'énoncer.