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Niveau Master Maths
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Suite uniformément équicontinue mais pas uniformément convergent

Posté par
azerty248
30-12-21 à 16:09

Bonjour,

Je post ce message car je bloque sur une question toute bête d'une annale de M1 en analyse fonctionnelle.
La question est de trouver une suite de fonction (f_n) continues et bornées sur [0,1] et à valeurs dans qui soit uniformément équicontinue et qui ne converge pas uniformément sur [0,1].

Si certains d'entre vous auraient des idées d'exemple je vous en serai très reconnaissant, j'ai beau me creuser la tête je ne trouve rien.

Posté par
verdurin
re : Suite uniformément équicontinue mais pas uniformément conve 30-12-21 à 16:45

Bonsoir,
il suffit que la suite ne soit pas convergente, me semble t-il.

Posté par
carpediem
re : Suite uniformément équicontinue mais pas uniformément conve 30-12-21 à 17:12

salut

une fonction continue sur [0, 1] est nécessairement bornées ...

regarder f_n(x) = x^n  ou  f_n (x) = \sqrt[n] x peut-être ....

Posté par
azerty248
re : Suite uniformément équicontinue mais pas uniformément conve 30-12-21 à 17:49

Merci pour vos réponses. Finalement j'ai réussi à trouver en prenant la suite f_n(x)=n tout simplement qui est bien uniformément équicontinue et n'admet pas de sous-suite qui converge uniformément.

Pour ce qui est du fait que toute fonction continue sur un compact est bornée je le savais évidemment haha, je ne faisais que répéter l'énoncer.



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