Salut Olive ,

Pour quel niveau?

Salut Eurotruck ,

La croissance et la décroissance des suites se fait avec des outils de première.

Pour la limite, j'ai trouvé quelque chose sans en être sûr mais ça devrait fonctionner et là j'hésite pour le niveau, je sais plus quand j'ai appris ça ^^, la méthode du prof utilise encore des outils de première.

Bon j'ai quand même eu ça en contrôle, et comme pas mal de gens ont bloqués là-dessus je la propose.

Bonsoir.

Pour étudier une suite définie par une relation de récurrence du type
u_(n+1)=f(u_n), on peut commencer par une approche graphique (non rigoureuse, mais qui servira de guide à une étude rigoureuse).
On trace sur un même graphique les courbes y=x et y=f(x).
on place u_0 sur l'axe des x (ici, u_0 n'est pas donné; on le place au hasard; on pourra faire plusieurs essais). La courbe y=f(x) nous permet de faire apparaître u_1 sur l'axe des y. Par réflexion par rapport à la droite y=x, on renvoie u_1 sur l'axe des x et on recommence.
On voit apparaître le comportement de la suite; à toi de poursuivre...

olive_68> Ok
rogerd> C'est pour conjecturer une décroissance, croissance, majoration, minoration je suppose. On peut faire ça sur la calculatrice non?

Par contre mes maigres souvenirs du lycée font que je ne sais pas si ce n'est que des outils de première! Mais ça m'a pas l'air bien folichon et je pense que je suis dedans

Eurotruck>

Pour cet exercice, je crains fort que la calculatrice ne fasse pas apparaître une conjecture très nette.
J'insiste sur la méthode graphique, qui a fait ses preuves.
Fais les deux expériences et tu verras.

Sopalin>

Je ne dis pas que ce tu affirmes est faux, mais c'est sans doute hors du niveau "terminales". De plus, faute d'une interprétation graphique, on ne "sent" pas ta démonstration.

Sopalin>

De plus, je ne pense pas qu'Olive68 attende une démonstration "clés en main" mais plutôt d'être mis sur les rails.

Je crois qu'il a un corrigé de son prof mais bon, soit
Le graphique n'est pas vraiment une preuve en soit! C'est très bien pour choper des intuitions mais après faut mettre la main dans le cambouis
Sinon, les points fixes on voit en terminale? Histoire que je fasse un truc qui convienne mieux!

Sopalin>

Salut à tous

Sopalin > Les variations sont fausses .
Je comprends pas trop la fin de ta démonstration et les conclusions ne me semblent pas très logique, par exemple

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Vu que (U2N) est croissante, elle ne peut pas converger vers -oo d'où L>0 et U2N tend vers - ln(L).

.. J'ai blanqué ce que je voulais citer et j'ai oublié le blank ...

Bon ça donne pas trop d'indication j'espère ^^

Excuse moi je croyais que c'était x1 = x !
Effectivement ça inverse tout... je reprends donc!

Sopalin >

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C'est bon alors, effectivement ça inverse le sens

Citation :
J'ai U2N+1 =  e^-U2N donc la suite (e-^U2N) tend vers L. Il y a deux possibilités!
L = 0: pas possible car alors on aurait U2N qui tendrait vers -oo, difficile pour une suite croissante
Donc L>0 et alors, par composition par ln qui est continu sur R+^*, U2N tend vers  -ln(L)

Oui je comprends maintenant ce que as fais et ça me semble correcte

En fait j'ai fais un truc qui ressemble en contrôle mais j'aurais mieux fais de faire comme toi (j'utilisais un point fixe de qui est le même que celui de mais bon ^^, j'espère que le prof ne sera pas tenté de tout barrer ^^)

Ouais mais celui là est faux vu que j'utilise les mauvaises monotonies! Regarde plutôt le dernier!

Bonjour à tous!

Je suis intéresser.

Juste pour avoir confirmation.

Il est clair que croît si et décroît si , mais comment savoir ceci ?

Salut LeFou

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Il est plutôt conditionné par le choix du premier terme.

C'est lui qui déterminer à la fois la croissance ou la décroissance des suites et leurs 'positions' par rapport à la limite.

Je te laisse cherché pourquoi non ?

Bonjour

olive_68>

Comme la question est "Montrer que les suites ... sont adjacentes" il y a de forte chance pour que ce soit vrai

Bon après je suis pas contre le graphique, mais c'est pas lui qui me donne (en générale) la marche à suivre.

Oui c'est ça

Ben je ne m'étais pas posé la question mais je crois que c'est "clair" pourtant, imagine la fonction f et mise à par , on reste toujours dans le même "tube horizontale"  non ?

Décidément le blanqué et moi ...

olive_68>

Mais si!
Dans un premier temps, on ne cherche pas à démontrer.
On représente la droite y=x et la courbe y=exp(-x) sur le même dessin.
On voit que la courbe et la droite se coupe en un certain point d'abscisse a<1.
On place x_0 sur l'axe des x, au hasard, à droite de 1 (donc de a).
Sur l'axe des y , on place x_1= exp(-x_0) ( graphiquement)
On voit qu'il est au-dessous de a.
On le renvoie sur l'axe des x. x_1 est donc à gauche de a.
On recommence.
On voit que x_2 est à droite de a, mais à gauche de x_0.
On devine que x_2n est décroissante minorée par a donc convergente vers une limite supérieure ou égale à a, x_2n+1 croissante majorée par a donc convergente vers une limite inférieure ou égale à a.

On a déjà vu pas mal de choses.

Histoire de souffler un peu , on les démontre. Ce n'est pas difficile. Il s'agit en fait d'écrire les vérités qui se cachent derrière le dessin.

Je vais moi-même souffler un peu après cette improvisation. A tout-à-l'heure.

Je répondais au message de 15 h 57 sans avoir vu les messages intermédiaires.

Oui je suis d'accord, ça sert à conjecturer des variations etc mais ça s'arrête là ^^

(A la sortie du contrôle, certains disaient que c'est évident sur le dessin quelles étaient adjacentes, c'est pas pour autant qu'ils ont su le démontrer)

LeFou >

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Ola c'était tellement plus simple comme ça, comme il y a un unique point fixe pour la fonction f et que les suites convergent chaqu'une vers un point fixe de f, par unicité, on en déduit l'égalité des limites ..


On dirait que t'as pas trouvé l'intervalle en question , je me trompe ?

Regardes ça : (j'espère que ça te parlera un peu ^^)