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Suites de couleurs avec transitions interdites
Bonsoir , je vous propose l'exercice suivant :
On dispose de quatre couleurs : Bleu (B), Vert (V), Jaune (J) et Rouge (R).
On forme au hasard une suite de 7 couleurs, en tirant chaque couleur avec remise (chaque position est choisie indépendamment, parmi B, V, J, R, avec même probabilité).
Cependant, deux configurations sont interdites :
la couleur V ne peut pas apparaître immédiatement après B ;
la couleur J ne peut pas apparaître immédiatement après B.
Autrement dit, les paires consécutives BV et BJ ne doivent apparaître nulle part dans la suite.
Combien de suites de 7 couleurs différentes peut-on former dans ces conditions ?
Bonjour,
Combien de suites de 7 couleurs différentes peut-on former dans ces conditions ?
*Avec remise on aura au maximum 4 couleurs
*les 4 couleurs doivent elles être présentes dans les 7 ?
Bonsoir,
je reformule la question de flight (c'est une question de dénombrement, il n'y a pas de probabilité dans la question).
Quel est le nombre de suites de 7 couleurs, chaque couleur étant prise dans {B, V, J, R}, telles que la couleur B ne soit jamais suivie d'un V ni d'un J (ou encore chaque B qui n'est pas le dernier terme de la suite est suivi soit de B, soit de R) ?
Merci jandri pour la précision mais mon doute demeure...
faut-il par exemple BRVJ VJB où les 4 couleurs sont au moins présentes une fois ,
ou bien peut-il y avoir BBBBBBRV où il manque une ou deux couleurs?
Bonjour,
Je comprends que BBBBBRV est possible.
Si c'est bien le cas, je propose (en bon bourrin)
Cliquez pour afficher
Je vais chercher les formules de récurrence
Bonjour,
je trouve comme sanantonio312 avec une formule un petit peu plus simple pour :
Cliquez pour affichercuriosité mathématique .
Fidèle à mon bidule j'ai voulu tester le nombre de cas en notant
Bleu=1 ;Vert=2 ;Jaune=3 et Rouge=4
On trouve 16512 arrangements de 1111111 à 4444444
En décomposant en paires par exemple
2134234-->21 13 34 42 23 34 et en excluant 12 et si il y est 13 on retombe bien sur 6528 bonnes.
J'ai procédé ainsi
1 /pour 4 couleurs =256 exemple 1412
2/pour les 3 autres = 64 exemple 143
3/il y a donc 256x64 = 16384 arrangements
4/il suffit de concatener 1/ et 2 exemple 1412 et 143 soit 1412143
5/décomposer en paires ici 14 41 12 21 14 43
6/exclure 12 et 13 de chaque ligne soit 9856 reste 4528 valides
soit 39.84 %
Bonsoir,
on peut généraliser l'exercice en calculant le nombre de suites de
couleurs prises dans
et telles qu'on ne trouve dans la suite aucune des séquences
(avec
).
On trouve très simplement une relation de récurrence vérifiée par la suite :
Cliquez pour afficherSon équation caractéristique a toujours deux racines réelles distinctes d'où une formule pour
Cliquez pour afficherCette expression a l'inconvénient de comporter une racine carrée qui ne se simplifie pas (excepté dans le cas très particulier où
Il existe une autre expression de
Cliquez pour afficher
Merci pour ce raccourci qui correspond à la réponse de sanantonio312 du 2/12 à09h56.
Pour ma part,j'ai voulu pour 7 avoir la totalité de la liste ....
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