Niveau exercices

Suites et fonction logarithme.

Posté par
lake 01-01-23 à 11:36

Bonjour et meilleurs vœux,

En cette nouvelle année, j'exhume un problème de niveau terminale qui m'avait bien plu. Je pense qu'il peut intéresser certains voire leurs donner des idées pour un éventuel DM.
Le but, vous l'aurez compris, n'est pas de le résoudre ici. Je le poste juste à titre informatif.

  Un bon terminale peut le court-circuiter en 3 lignes. A mon sens il est préférable de suivre l'énoncé pas à pas.

I- Des racines...

     A tout $x>0$ , on associe la suite $(w_n)$ définie par $w_0=x$ et $\forall n\in \mathbb{N}$ ,   $w_{n+1}=\sqrt{w_n}$

       1. Etudier le cas $x=1$

       2. Soit $(w_n)$ et $(w_n')$ les suites associées à deux réels $x$ et $x'$ et $(W_n)$ celle associée au produit $xx'$ .

          Montrer que: $\forall n\in \mathbb{N}$ ,   $W_n=w_n.w_n'$

       3. Soit $(w_n)$ et $(w_n')$ les suites associées à $x$ et $\frac{1}{x}$ . Montrer que: $\forall n\in \mathbb{N}$ , $w_n'=\frac{1}{w_n}$

       4. On suppose ici que $x>1$ . Montrer que $(w_n)$ est minorée par 1, décroissante et convergente vers 1.

       5. Déduire du I_3. le comportement de $(w_n)$ quand $x<1$ .

          En conclusion, $\forall x>0$ , $(w_n)$ est convergente vers 1.

II- Etude numérique d' une seconde suite.

     A tout $x>0$ , on associe la suite $(t_n)$ définie par: $\forall n \in \mathbb{N}$ ,   $t_n=2^n(w_n-1)$

       1. Peut-on conclure quant à la convergence de cette suite ?

       2. Démontrer que: $\forall n \in \mathbb{N}$ ,   $t_{n+1}=\frac{2t_n}{1+w_{n+1}}$

       3. Voici deux algorithmes:

          A1: données N, W
              T $\,\leftarrow$ $2^N(W-1)$
              Noter N,T
              N $\,\leftarrow$ N+1
              W $\,\leftarrow$ $\sqrt{W}$

          A2: données N,W,T
              W $\,\leftarrow$ $\sqrt{W}$
              T $\,\leftarrow$ $\frac{2T}{W+1}$
              N $\,\leftarrow$ N+1
              Noter N,T

          a) Expliquer en quoi A1 ou A2 permet de construire un tableau de la suite $(t_n)$ .

          b) Essayez de trouver en quoi l' un des deux algorithmes est préférable à l' autre.

          c) Conjecturer sur ce tableau des propriétés de $(t_n)$ .

III- Où on lève l' indétermination.

       1. Montrer que $(t_n)$ est décroissante.

       2. On suppose ici que $x>1$ . Montrer que $(t_n)$ est convergente.

       3. Soit $(t_n)$ et $(w_n)$ les suites associées à $x$ ,   $(t_n')$ et $(w_n')$ celles associées à $\frac{1}{x}$ .

          Montrer que: $\forall n \in\mathbb{N}$ ,   $t_n'=-\frac{t_n}{w_n}$ .

       4. En déduire que pour $x<1$ ,   $(t_n)$ est convergente.

     En conclusion: pour tout $x>0$ , la suite $(t_n)$ est décroissante et convergente vers un réel qu' on notera $\ell(x)$ .

                            On définit ainsi une application   $\ell :\,\mathbb{R}^{+*} \,\mapsto\, \mathbb{R}$

IV- Propriétés de l' application l.

        1. Montrer que $\ell (1)=0$

        2. Soit $(t_n)$ et $(w_n)$ les suites associées à $x$ , $(t_n^')$ et $(w_n^')$ celles associées à $y$ , $(W_n)$ et $(T_n)$ celles associées à $x.y$ .

            Montrer que: $\forall n\in \mathbb{N}$ ,   $T_n=t_n.w_n'+t_n'$

            En déduire que $\forall x>0, y>0,\quad \ell(x.y)=\ell(x)+\ell(y)$

        3. Montrer que $\ell$ est une application croissante sur $\mathbb{R}^{+*}$ .

V- Construction approchée de la courbe représentative de l.

        1. Montrer que pour tout $x>0$ ,  et pour tout entier naturel $n$ ,  on a: $\ell(x)\leq t_n$ .

        2. En déduire que pour tout $x>0$ et pour tout entier naturel $n$ ,   $\frac{t_n}{w_n}\leq \ell(x)\leq t_n$ .

        3. Avec $n=10$ , et les outils numériques du II, quels encadrements obtient-on pour: $\ell(2)$ , $\ell(3)$ , $\ell(5)$ , $\ell(7)$ , $\ell(11)$ ?

        4. Ébaucher sur une figure soignée l' allure de la courbe représentative de $\ell$ dans un repère orthonormé.

VI- Dérivabilité de l.

        1. Déduire du V-2. que pour tout $x>0$ ,   $\frac{x-1}{x}\leq l(x)\leq x-1$ puis que $\ell$ est dérivable en 1 de nombre dérivé 1.

        2. Soit $x>0$ . Déduire de la question précédente que $\ell$ est dérivable en $x$ de nombre dérivé $\frac{1}{x}$ .