Bonjour,

Si tu veux des réponses, tu postes ton énoncé tel qu' on te l' a donné sans y changer quoique ce soit.

Le problème est que le sujet comporte 2 pages et je ne vois pas l'interet de recopier l'explication sur le chiffrement de Hill

C' est toi qui voit...

J'ai trouvé sur Internet le début du sujet c'est sur le lien suivant mais ce n'est que jusque la question 2 b  après cela change : http://*****lien supprimé****
Ainsi on nous demande dans la suite de l'énoncé

3a) montrer que tout couple (x;y) vérifiant la relation S1 soit le système suivant :
                        9x + 5y x' (26)
                        4x + 7y y'(26)

vérifie l'équation du systeme : 43x' 2x + 21y (26)
                                                                     43y' 22x + 9y (26)

voici la premiere question sur laquelle je bloque
j'ai essayé de remplacer x' par le systeme S1 mais je ne retombe pas sur le bon résultat

merci d'avance
                                                                        

De toute manière, ton énoncé est pourri d' erreurs:

Citation :
3a) montrer que tout couple (x;y) vérifiant la relation S1 soit le système suivant :
                        9x + 5y x' (26)
                        4x + 7y y'(26)

vérifie l'équation du systeme : 43x' 2x + 21y (26)
                                                                     43y' 22x + 9y (26)

L'énoncé est peut-être faux sauf que je ne peux pas mettre sur ma copie que le sujet est faux et le faire avec d'autre valeurs je ne pense pas que mon professeur soir d'accord...
cependant j'ai essayé avec votre nouveau système mais je ne retombe toujours pas sur le bon résultat ....

merci encore

Le jour où tu te décideras à poster un énoncé complet et exact (sans balancer une image ou un lien), on pourra peut-être t' aider...

pour coder avec la méthode Hill on utilise ce tableau :
A = 0
B = 1
C = 2
...

donc par exemple pour coder le message " J ADORE LES MATHS" on fait des paquets de 2 et on l'écrit :
(9;0)-(3;14)-(17;4)-...

si le nombre de lettres du message avait été impair on aurait ajouté un lettre arbitraire à la fin.
ensuite chaque couple de nombre (x;y) de la liste précédente est transformé en un nouveau couple (x' ; y' )  de nombre entiers compris entre 0 et 25, à l'aide d'une matrice
A =  a  b    via la relation  A x   x' (26) , ce qui signifie :
         c  d                                          y          y'
ax + by x' (26)
cx + dy y'(26) . la matrice A est appelé la matrice de chiffrement.

le destinataire du message recoit donc le message codé, et souhaite, à partir des couples de nombres(x':y'), retrouver les couples (x;y) afin de retrouver le message en clair.

deja, pour disposer d'un bon chiffrement, on impose qu'à un couple codé (x';y') ne corresponde qu'un seul couple (x;y) en clair, afin de déchiffrer le message sans ambiguité. cela signifie qe le systeme précédent d'inconnue (x;y) n'a qu'une solution. d'apres le cours, il est par conséquent nécéssaire que la matrice A soit inversible donc ab -bc 0


Avec la clé A = 9  5
                                  4  7
I )chiffrement d'un message
1) par la méthode décrite ci dessus vérifier les deux premieres lettre JA du message " J ADORE LES MATHS" sont codées par DK
Fait

2) utiliser un tableur permettant de cod rapidement tout le message fait

II ) déchiffrement d'un message
1) montrer que la matrice A est inversible et donner son inverse. le probleme est que les coefficients de a ^-1  ne sont pas des nmbres entiers... on a dét(A) = 43 donc on crira cette matrice inverse sous la forme 1/43 B où B est un matrice à coefficients entiers et 1/43 est l'inverse de 43

j'ai donc mis que le déterminant était supérieur à 0 ainsi la matrice est inversible et j'ai invers la matrice A est laissant A = 1/43 B .
j'ai ainsi obtenu :  1/43 B = 7    -5
                                                             -4  9  

2a) pour comprendre la suite, compléter cette phrase :
" etant donné que l'on travaille modulo 26, on va chercher un nombre m tel que 43m 1(26) ce qui signifiera que m est multiple de 43 modulo 26 ".
d'autre personne de ma classe on mis inverse mais je ne sais pas vraiment si j'ai bon.

2b)  déterminer l'unique entier m tel qye 0m25 et 43m1(26 )
j'ai fait cela avec un tableur j'ai ainsi trouvé que m devait être égal à 23

2c) compléter alors les pointillés :
43A^-1 = B m*43A^-1 = mB et ainsi on a ..... mB (26)
pour cette questin je ne trouve pas et je n'arrive pas à faire le reste

2d) en déduire un matrice A' = a'  b' avec a' , b' , c' , d' quatre entiers
                                                                     c'  d'
compris entre 0 et 25 telle que x A' x' (26)
                                                                       y          y'

2e) déchifrer alors le message : EWPLTPWOSEBTNWJWGMPYDCJR

il reste encore une partie mais sans celle ci je ne peut pas avancé

merci d'avance

II)1)

et

2)a)

On dit que est l' inverse de 43 modulo 26.

2)b) Oui,

2)c) et ainsi on a:

2d)

  



Et on a bien comme annoncé plus haut:

  

2)e) Le message décrypté:

    Magnifique et felicitation

ce qui prouve bien que c' est juste...

Merci beaucoup,
maintenant j'ai la suite où j'ai fini mais je voudrais juste une vérification de votre part

1) dans le déchiffrement précédent quelle conditions particuliere sur 43 et 26 permet d'être sûr qu'il existe une réponse à la question 2b)
j'ai mis que 43m 1(26) devait toujours être vrai mais avec une seule solition dans l'intervalle que l'on choisit. enfin qu'il y ai au moins 1 solution pour laquelle cela donctionne

2) soit la clé A = 7   2
                                    4   3

montrer que 7*3 - 4*2 n'est pas premier avec 26. donner le PGCD de ces deux nombres.
le résultat fait 13 donc 26/13 = 2 donc 26 n'est pas premier car il a comme diviseur 1, 2 , 13 et 26.
pour le PGCD j'ai mis 13.

3) comparer les produits A ( x      et A ( x+2
                                                                y  )               y+6  )

que se passerait-il si l'on procédait à un chiffrement avec la clé A ?

donc A ( x      donne 7x + 2y           et A(x+2    donne 7x+2y +26
                   y )                    4x + 3y                     y+6 )                  4x +3y +26

on ne fait qu'ajouter 26 donc on peut conclure qu'en chiffrant avec la clé A le 26 correspond au modulo 26 des parties précédentes.  

4) pour un chiffrement du type A ( x     ( x'  (26),
                                                                              y )            y' )      
avec A = ( a  b
                       c  d )
où a , b , c ,d sont quatres entiers l'unicité dans le codage est une consquences de l'inversibilité de la matrice A modulo 26.
montrer qye cette condition est vérifiée lorsque ad - bc et 26 sont premier entre eux .

cette question je ne la comprend pas vraiment. je pense qu'il faut donc que ad - bc et 26 sont divisible entre eux mais je n'arrive pas à savoir ce qu'on me demande.

merci d'avance :)

1) revient à dire qu' il existe entier tel que:

  

Le fait que 43 et 26 soient premiers entre eux nous garantit l' existence de ce avec Bezout.

2) et

3)Modulo 26,

Les couples et sont codés de la même manière.

4) Pour que soit inversible modulo 26, il faut et il suffit que l' équation en :

   ait une solution unique dans

ou encore

  Cette condition n' est réalisée que si et sont premiers entre eux d' après Bezout.


  

Merci beaucoup !!!

Salut,je dois réaliser également ce dm et j'ai du mal à justifier les solutions,ce serait possible d'envoyer la justification de chaque question svp