Niveau concours

Surface

Posté par
lolo5959 23-06-08 à 11:25

Bonjour à tous!

On sait que la surface latérale d'un cône est: S=*R*g où g=génératrice et R=rayon du cercle de base.
Seulement, j'aurais voulu calculer cette surface latérale à l'aide des intégrales, mais je n'y arrive pas!Pourtant, ça doit être faisable!

Si quelqu'un avait une p'tite idée!

Merci!

lolo

Posté par re : Surface 23-06-08 à 12:15

Bonjour.

Si tu connais les intégrales de surface, trouve une paramétrisation de ton cone, puis intégre la fonction f1

Posté par re : Surface 23-06-08 à 12:16

Bonjour,

Aire élémentaire : $3$ dA\,=\,\frac{g\,\times\,s}{2}$

Aire : $3$A\,=\,\int_{0}^{2\pi R}\,\frac{g}{2}\,ds\;=\;\pi\, R\,g$

Posté par re : Surface 23-06-08 à 12:17

salut,

si tu dessines ton triangle dans le repère, pour x de 0 à H (hauteur), le périmètre est: 2f(x)

où f est la droite du triangle (pas évident à expliquer sans dessin), tu intègres pour x de 0 à H le terme 2f(x) tu devrais retomber sur la surface latérale

Posté par re : Surface 23-06-08 à 12:25

Soit le segment de droite d'équation : y = (R/h)*x sur [0 ; h]
(R est le rayon de la base du cône et h sa hauteur).

L'aire engendrée par ce segment de droite tournant autour de l'axe Ox est :

S = 2Pi . S(de 0 à R). f(x).V(1 + (f'(x))²) dx

f(x) = (R/h) * x
(f '(x))² =  R/h

S = 2Pi . (R/h) * V(1 + R²/h²) S(de 0 à h) x dx

S = 2Pi . (R/h) * V(1 + R²/h²) [x²/2](de 0 à h)

S = 2Pi . (R/h) * V((h² + R²)/h²) [h²/2]

S = Pi . R * V(h² + R²)

et par Pythagore :  V(h² + R²) = g

--> S = Pi . R . g
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Sauf distraction.

Posté par re : Surface 23-06-08 à 12:36

bonjour,
un vieux souvenir : ta surface est parametrisee parr deux parametres (d'abord a²z²=x²+y²,a>0) $x=\rho\cos(\theta); y=\rho\sin(\theta);z=a\rho$
tu derives $\vec {OM}$ par rapport à $\rho$
tu derives $\vec {OM}$ par rapport à $\theta$
tu fais le produit vectoriel de ces deux vecteurs
tu fais la norme de ce produit vectorielc'est $\sqrt {a^2+1}\rho$
et tu fais l'integrale double de la norme
$\rho$ va de 0 à R
$\theta$ va de 0 à $2\pi$

tu vas trouver $R^2\sqrt {a^2+1}\pi$ ça fait Rg $\pi$

sauf erreur