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Symétrie et domaine de définition

Posté par Profil Ramanujan 26-12-18 à 19:13

Bonsoir,

Soit f une fonction définie sur X à valeurs dans \R

1/ Comment montrer que (x,y) et (x,a-y) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = \dfrac{a}{2} ?

2/ Pourquoi le domaine de définition de f(a-x) est X_a ' = \{a-x , x \in X \}
Comment trouver le domaine de définition d'une composée ?

Posté par
pgeodre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 19:20

1/
soit A(x, y) et B(x, a-y) et (d) : y = a/2

- le milieu de [AB] appartient à la droite (d) et
- droite (AB) perpendiculaire à (d)

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 19:24

Le milieu de [AB] a pour coordonnées : \dfrac{y+a-y}{2} = \dfrac{a}{2}

Je vois pas comment montrer que (AB) \perp (d)

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 19:35

Bonjour
ce n'est pas vrai si le repère n'est pas orthogonal ....

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 19:36

ou alors il faut préciser parallèlement à quoi se fait la symétrie

Posté par
malou Webmasterre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 19:40

Ramanujan @ 26-12-2018 à 19:24

Le milieu de [AB] a pour coordonnées : \dfrac{y+a-y}{2} = \dfrac{a}{2}

je croyais qu'un point avait 2 coordonnées ....

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 19:46

Je remets le contexte :

Soit f : X \rightarrow \mathb{R} et a \in \mathb{R}

Proposition 1 :  La fonction u_a (x) = a -f(x) est définie sur X. Son graphe se déduit de celui de f par symétrie par rapport à la droite d'équation y = \dfrac{a}{2}

Démonstration :
Un point (x,y) appartient au graphe \Gamma_{u_a} si et seulement si : y = a -f(x) soit (x,a-y) \in \Gamma_{f}

Les points (x,y) et (x,a-y) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y =\dfrac{a}{2} alors le graphe \Gamma_{u_a} se déduit de \Gamma_{f} par cette même symétrie.

Je ne sais plus comment montrer que les points (x,y) et (x,a-y) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y =\dfrac{a}{2}

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 19:47

le contexte n'est pas complet

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 19:49

et pgeod t'a rappelé comment montrer la symétrie, dans le cas d'une symétrie orthogonale, ce qui ne sera le cas que si le repère lui-même est orthogonal.
pour montrer l'orthogonalité entre (AB) et (d), il faut avoir en tête le programme de sixième ....

Posté par
pgeodre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 20:00

Disons qu'il s'agit :

d'une symétrie orthogonale dans un repère (Oxy) orthogonal
ou bien d'une symétrie d'axe parallèlement à (Oy).

Dans les deux cas, il va suffire de montrer que (AB) et (Oy) sont parallèles.

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 20:06

Vous avez raison Lafol ! En effet, il est précisé au début du paragraphe que :

Le plan est supposé rapporté à un repère orthonormé (0, \vec{i} , \vec{j}) et l'ensemble \Gamma_f = \{(x,f(x) , x \in X \} est le graphe de f.

Même si je vois pas le rapport avec le type de repère.

Bah (AB) est une droite verticale  et (d) une droite horizontale donc elles sont perpendiculaires.

Le milieu de AB a pour coordonnées : (x, \dfrac{a}{2}) donc il appartient à la droite (d)

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 20:08

une fois qu'elles sont sur ta feuille, elles sont toutes horizontales .... un peu de rigueur, tout de même ! et si tu ne vois pas le rapport entre l'orthogonalité du repère et celle des droites (AB) et (d), c'est un brin inquiétant !

Posté par
malou Webmasterre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 20:10

Citation :
Même si je vois pas le rapport avec le type de repère.

il te manque d'avoir travaillé pendant des années avec des repères obliques comme on faisait d'antan....

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 20:18

Ah j'ai compris pour le repère !

Sinon ce qui me pose le plus de problème est la suite :

Soit f : X \rightarrow \mathb{R} et a \in \mathb{R}

Proposition 2 :  La fonction v_a (x) = f(a-x) est définie sur X_a ' = \{a-x, x \in X \}. Son graphe se déduit de celui de f par symétrie par rapport à la droite d'équation x = \dfrac{a}{2}

Démonstration :
Le réel x' \in X_a ' si et seulement si a-x' \in X ce qui équivaut à dire qu'il existe x \in X tel que x' = a-x Ainsi X_a et X_a ' sont des parties de \R symétriques par rapport à la droite x =  \dfrac{a}{2}


Je n'arrive pas à comprendre comment on trouve le domaine de définition X_a ' et le reste je comprends rien pourquoi a-x' \in X  ni pourquoi  x' = a-x

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 21:16

Est-ce possible de déplacer mon sujet dans le forum supérieur ?

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 21:24

c'est du niveau collège, lycée, c'est très bien ici

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 21:32

Quelqu'un peut m'expliquer comment on trouve le domaine de définition :

X_a ' et pourquoi le réel x' \in X_a ' si et seulement si a-x' \in X

Merci d'avance, je suis bloqué depuis des heures.

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 21:33

m'enfin ? t'es sérieux, là ? pas fichu de comprendre tout seul que si on veut pouvoir calculer f(g(x)), il faut que g(x) soit là où f est définie ?

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 21:38

Bah si mais je comprends pas la notation :

X_a ' = \{a-x, x \in X \}

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 21:41

l'ensemble des a - x où x est élément de X, y'a rien de compliqué là dedans

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 21:48

J'ai jamais vu cette définition pour l'ensemble de définition d'une composée. Par exemple si : f(x)=\sqrt{x} définie sur X= \R^+

Je prends a=2 alors f(a-x)=f(2-x)= \sqrt{2-x}

J'ai X_2 ' = \{2-x , x \in \R^+ \}= \{2 , 1 , 0 , \cdots ... \}

En effet ça marche nikel : on retrouve le domaine de définition de \sqrt{2-x}

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 21:50

c'est pas comme si c'était expliqué juste après dans la démonstration, hein ?

et non, X'_2 dans ton exemple n'est pas un ensemble dénombrable ...

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 21:56

Ah c'est un intervalle vous avez raison !

J'avais fait un blocage je sais pas pourquoi mais merci de m'avoir débloqué

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 22:25

Je veux montrer que X et X_a ' sont symétriques.

On a juste montré : \exists x \in X : x' = a-x

Comme les domaines de définitions sont sur l'axe des abscisses :
Par contre comment savoir si le plus grand est x ou a-x pour calculer le milieu ?

Dans mon livre il y a écrit : "on démontre comme précédemment que les graphes sont symétriques par rapport à la droite d'équation x = \dfrac{a}{2}

J'aimerais faire la démo. Je pars de :

(x,y) \in \Gamma_{v_a} \Leftrightarrow y = f(a-x) et là je bloque.

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 22:30

mais quel besoin tu as de savoir lequel est le plus grand pour calculer l'abscisse du milieu

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 22:33

Ah oui grosse erreur je patauge complet j'aime pas du tout ce chapitre

J'ai compris merci.

Et pour la deuxième démo ? J'arrive pas à exprimer f(x) en fonction de y comme pour la proposition 1.

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 22:44

y = v_a(x) = f(a-x) .....

M(x,y) est sur le graphe de v_a si et seulement si M'(a-x, y) est sur celui de f

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 23:20

Vous allez trop vite. Mais après réflexion je pense avoir compris la méthode pour le démontrer.

\Gamma_f = \{(x,f(x)) , x \in X \}

Alors : (x',y) \in \Gamma_{v_a} \Leftrightarrow y =f(a-x')  

Or x' \in X_a ' donc x' = a - x avec x \in X ce que l'on peut réécrire sous la forme : x= a-x'

On a montré que : a-x' \in X ainsi le couple (a-x' , f(a-x')) \in \Gamma_f

Ce qui revient à dire que : (a-x' ,y) \in \Gamma_f

Pour passer de \Gamma_f à \Gamma_{v_a} il suffit de faire la translation de vecteur x= \dfrac{a}{2}

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 23:25

Ramanujan @ 26-12-2018 à 23:20

Vous allez trop vite. Mais après réflexion je pense avoir compris la méthode pour le démontrer.

\Gamma_f = \{(x,f(x)) , x \in X \}

Alors : (x',y) \in \Gamma_{v_a} \Leftrightarrow y =f(a-x')

Citation :
Or x' \in X_a ' donc x' = a - x avec x \in X ce que l'on peut réécrire sous la forme : x= a-x'

On a montré que : a-x' \in X ainsi le couple (a-x' , f(a-x')) \in \Gamma_f
 (parfaitement inutile)

Ce qui revient à dire que : (a-x' ,y) \in \Gamma_f

Pour passer de \Gamma_f à \Gamma_{v_a} il suffit de faire la translation de vecteur x= \dfrac{a}{2}

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 23:26

et une translation de vecteur un nombre ? t'es vraiment sérieux ?

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 23:31

Ah oui on a juste utilisé : x' \in X_a ' si et seulement si x' - a \in X

Je me suis juste mélangé les pinceaux avec la proposition suivante désolé.

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 26-12-18 à 23:56

Par la suite on montre que :

u_a(x)=f(x)+a son graphe s'obtient en faisant la translation de vecteur a \vec{j}

v_a(x)=f(x+a) son graphe s'obtient en faisant la translation de vecteur -a \vec{i}

En combinant les 2 propositions, montrer que la fonction qui vérifie f(a-x)=-f(x) admet (\dfrac{a}{2},0) comme centre de symétrie.

Je vois pas du tout comment faire.

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 27-12-18 à 09:20

Il suffit de montrer que le point en question est le milieu de ((a-x;f(a-x)),(x ; f(x)))

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 27-12-18 à 10:22

J'ai pas compris comment vous obtenez ça

Et en plus je vois pas comment utiliser les résultats précédents.

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 27-12-18 à 10:51

Comment j'obtiens ça ? Définition de la symétrie centrale, programme de cinquième et notion de courbe représentative dune fonction, troisième ? Seconde ?
Les résultats précédents ne sont pas à mémoriser pour être utilisés comme "théorèmes boîtes noires", mais à comprendre pour être utilisés facilement en cas de besoin, en les adaptant si nécessaire, comme ici

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 27-12-18 à 11:06

Je sais faire quand on a la fonction f(x) d'après le cours de lycée (a,b) est centre de symétrie si : f(a-x)+f(a+x)= 2b

Ici on a pas la fonction f donc je patauge

f(a-x) = - f(x)

Comment vous trouvez les 2 points ?

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 27-12-18 à 13:24

En regardant les données ! On n'a que deux images dans l'égalité que tu viens de rappeler donc seulement deux points de la courbe....

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 27-12-18 à 13:26

Par ailleurs on n'a jamais "la fonction f(x)"
J'imagine que tu voulais dire autre chose de plus sensé ?

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 27-12-18 à 14:23

Mais vous avez pas oublié un moins ?

f(a-x) donne le point (a-x , f(a-x))

- f(x) donne le point (x , -f(x))

Non ?

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 27-12-18 à 15:27

Non ! Le deuxième que tu proposes n'est pas sur la courbe de f ! Ça t'arrive de réfléchir ou tu n'es capable que d' "automathismes"?

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 27-12-18 à 19:04

Du coup je comprends rien, je vois pas comment vous trouvez les points appartenant à f en partant de : f(a-x)= - f(x)

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 27-12-18 à 21:40

les points (machin, f(machin)) sont sur la courbe de f (et pas "appartenant à f", ce qui n'a aucun sens, m'étonne pas que tu ne comprennes rien, si tu ne fais pas plus attention au sens de ce que tu écris ....)
on te donne l'égalité f(a-x) = -f(x)
ça donne envie de s'intéresser à deux points de la courbe de f : celui où "machin" vaut a-x, et celui ou "machin" vaut x.

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 28-12-18 à 03:08

Je comprends rien

Posté par
lafol Moderateurre : Symétrie et domaine de définition 28-12-18 à 08:17

À 3h du matin c'est un peu normal...

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 28-12-18 à 10:10

Bah non car ce matin j'ai toujours pas compris.

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 28-12-18 à 11:16

En fait je n'ai pas compris dans votre méthode quand on part de f(a-x)=-f(x) comment on sait à l'avance que les points (x,f(x)) et (a-x,f(a-x)) seront symétriques ?

Posté par
lionel52re : Symétrie et domaine de définition 28-12-18 à 11:23

Hello Ramanujan, ça veut dire quoi 2 points symétriques?

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 28-12-18 à 11:48

M(x,y) et M'(x',y') sont symétriques par rapport à (\dfrac{a}{2},0) si et seulement si : (j'ai fait un dessin)

\dfrac{x+x'}{2} = \dfrac{a}{2} et y+y'=0

Mais je n'arrive pas à appliquer ça à la fonction : f(a-x)=-f(x)

Posté par
lionel52re : Symétrie et domaine de définition 28-12-18 à 12:47

Avec
x = x
x' = a-x

y = f(x)
y' = f(a-x)

Tu arrives pas à appliquer?

Posté par Profil Ramanujanre : Symétrie et domaine de définition 28-12-18 à 15:10

Soit M(x,y) \in \Gamma_f alors y=f(x)

Notons M'(x',y') l'image de M par cette symétrie.

Or : x' = a-x et y' = -y = -f(x)

On a : f(x')=f(a-x) = -f(x) = y' donc M'(x',y') \in \Gamma_f

Par contre j'ai un doute : ici on travaille sur \R mais sinon faut vérifier que x' \in D_f ?

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