Niveau exercices

Système carrolien

Posté par
Glapion 28-06-11 à 15:07

Soit le système :
$\Large \{{\frac{x}{y}=x-z\atop \frac{x}{z}=x-y}$
Montrer que soit x0 soit x4

Posté par re : Système carrolien 28-06-11 à 16:32

rien compris à la question !

Posté par re : Système carrolien 28-06-11 à 17:21

Salut,

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Posté par re : Système carrolien 29-06-11 à 11:51

Oui, bravo J-P !

Posté par re : Système carrolien 29-06-11 à 18:56

salut

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Posté par re : Système carrolien 30-06-11 à 07:26

Bonjour !

En soustrayant les deux équations, on trouve, après calculs :

$(z-y)\cdot (\frac{x}{yz}+1)=0$
Un produit est nul si un des facteurs est nul.
1) Si $x=-yz$ , en remplaçant dans la première équation on obtient $x=0$ .
Du coup $y=0$ ou $z=0$ ce qui est interdit (les dénominateurs $y$ et $z$ ne sont pas nuls !).

Il reste la possibilité
2) $y=z$ . Le système se réduit à une "seule" équation :

$\frac{x}{y}=x-y$ (au fait la deuxième équation est $y=z$ ).
On obtient $x=\frac{y^2}{y-1}$ ( $y\neq 1$ sinon $y=0$ et on tombe sur une contradiction !);
On a deux cas :

a) $y<1$ d'où $x<0$
ou bien
b) $y>1$ mais alors $4\leqslant \frac{y^2}{y-1}$ car cela revient à $(y-2)^2\geqslant 0$ ce qui est vrai pour tout $y$ .

Conclusion :
pour $y<1$ on obtient $x<0$ ( $x$ ne peut pas être nul !)
et pour $y>1$ on obtient $x\geqslant 4$ .