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si p+q<n, aucune solution
si p+q=n une seule solution (x=p,y=q)
si p+q > n, plusieurs solutions , 1+p+q-n solutions

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Les solutions sont de la forme (n-y, y) pour y parcourant 1,...,q avec la contrainte que 1 <= (x = n-y) <= p, ce qui veut dire que y >= n-p et y <= n-1.
Au final, en utilisant 0< p,q < n, on peut résumer cela à



Il y a entiers dans cet intervalle, qui est positif puisque , i.e .

La symétrie du resultat en p et q nous dit qu'on trouve la même chose si on fixe un x et qu'on pose y = n-x à la place.