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Système d'équations du 1er degré.

Posté par
septante-deux
10-12-13 à 09:34

Voici l'énoncé du problème "Chaque lettre a une valeur entière diférente et supérieure à 9. En additionnant la valeur des lettres ainsi que les chiffres -, BONNE ANNEE 2014 =746 mais aussi BANANE = 746, BONBONNE = 746 et ANNABON = 746. Combien de valeurs différentes la lettre B peut-elle prendre?

Voici où j'en suis/ De la 1re égalité, je peux écrire: BONNEANNEE = 739.
De la 2de égalité, je tire ANNA = 746 - B - E . Je porte cette valeur dans la denière égalité, j'en tire que BON = B+ E.

Maintenant, je bloque.

D'avance, je vous remercie pour e que vous m'écrirez.

Posté par
geo3
re : Système d'équations du 1er degré. 10-12-13 à 14:03

Bonjour
Il y a un souci car
En résolvant le système suivant d'inconnues a,b,e,o en fonction de n
b+o+4n+a+3e =739
b+2a+2n+e =746
2b+2o+3n+e=746
2a+3n+b+o=746
on trouve
a=(2331-10n)/10 ; b =(767 +5n)/5 ; e =(732-5n)/5   ; o = (732-10n)/5
et ainsi pour a par exemple il est difficile lorsqu'on retranche un multiple de 10 à 2331 de trouver un multiple de 10
A+

Posté par
mathafou Moderateur
re : Système d'équations du 1er degré. 10-12-13 à 14:32

Bonjour,

des méthodes avancées (hors sujet, et hors programme) donnent pourtant des solutions entières !

b = -739 + 5k
o = 3716 - 18k
n = -2231 + 11k
a = 2231 - 10k
e = 1485 - 7k

pour k entier quelconque et si on veut des solutions > 0, pour les valeurs de k = 203, 204, 205 et 206
sauf erreurs

trouver ces formules est complètement en dehors de tout programme
mais une fois ces formules obtenues (on va dire par divination) on peut calculer les 4 solutions et les vérifier.

Posté par
septante-deux
Système d'équations du 1er degré. 10-12-13 à 14:41

Merci geo3 Je vais donc réexaminer ce problème.

A bientôt.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Système d'équations du 1er degré. 10-12-13 à 15:07

Geo3 prétend que ce problème est impossible
je te fournis (directement et sans explications car c'est impossible à ce niveau "collège" de fournir le "comment" : c'est du calcul matriciel avec l'algorithme d'Euclide sur les lignes et colonnes des matrices etc) :

b = 5*k-739
o = 3716-18*k
n = 11*k-2231
a = 2231-10*k
e = 1485-7*k

k = 203
b = 5*203-739=276
o = 3716-18*203=62
n = 11*203-2231=2 k < 203 donne n < 0
a = 2231-10*203=201
e = 1485-7*203=64

k = 204
b = 5*204-739=281
o = 3716-18*204=44
n = 11*204-2231=13
a = 2231-10*204=191
e = 1485-7*204=57

k = 205
b = 5*205-739=286
o = 3716-18*205=26
n = 11*205-2231=24
a = 2231-10*205=181
e = 1485-7*205=50

k = 206
b = 5*206-739=291
o = 3716-18*206=8 k > 206 donne o < 0
n = 11*206-2231=35
a = 2231-10*206=171
e = 1485-7*206=43

tu peux vérifier que par exemple avec k = 206
BONNE ANNEE 2014 donne 291+8+35+35+43+171+35+35+43+43+2+0+1+4 = 746
et les autres de même

etc.
et donc 4 solutions pour B : 276, 281, 286, 291

évidemment si tu ne cherchais pas à résoudre ce problème mais à fabriquer un problème qui tienne la route c'est une autre histoire hein...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Système d'équations du 1er degré. 10-12-13 à 15:09

PS : j'avais zappé le "> 9"
il ne reste donc que deux solutions sur les quatre

Posté par
geo3
re : Système d'équations du 1er degré. 10-12-13 à 16:48

Re
En fait j'avais résolu le système sans le ""a ""dans la 1ère équation  : correction  ( sorry): en résolvant en fonction de n on a
pour
b+o+4n+a+3e =739
b+2a+2n+e =746
2b+2o+3n+e=746
2a+3n+b+o=746
on trouve
a=(2231-10n)/11 ; b =(3026 +5n)/11 ; e =(718-7n)/11   ; o = (718-18n)/11
ainsi
il  "" ne reste plus qu'à "" ( pour rire ) chercher n  > 9 tel que les 4 numérateurs soient divisibles par 11;
Avec un tableur on peut en trouver au moins un ( sans nécessairement les trouver tous) mais puisque mathafou en a trouvé 2 par une méthode qui m'est inconnue , je peux juste vérifier que pour le k ( de mathafou) = 205 le n = 24 et a = (2231-240)/11 = 1991/11 181 comme mathafou a trouvé
A+

Posté par
septante-deux
re : Système d'équations du 1er degré. 10-12-13 à 17:38

Grand merci à Geo3

Posté par
mathafou Moderateur
re : Système d'équations du 1er degré. 10-12-13 à 18:16

Pour pousuivre ta méthode jusqu'au bout : on veut donc que
2231-10n soit multiple de 11
cela s'écrit (sans tableur) :
202*11 + 9 - 11n + n multiple de 11 et donc 9 + n multiple de 11

en d'autres termes n = 2 + 11k, k un entier quelconque
et donc a = (2231-10n)/11 = (2231 - 10*(2 + 11k))/11 = 201 - 10k

on vérifie alors que les autres sont par un hasard "extraordinaire" aussi automatiquement multiples de 11 !!

3026 + 5n = 3026 + 5*(2 + 11k) = 3036 + 55k = 276*11 + 55k
(ce qui donne b = 276 + 5k)

puis
718 - 7n = 718 - 7*(2 + 11k) = 704 - 77k = 64*11 - 77k
(et donc e = 64 - 7k)

et
718 - 18n = 718 - 18*(2 + 11k) = 682 - 18*11k = 62*11 - 18*11k
(et donc o = 62 - 18k)

ce qui redonne exactement mes formules avec un décalage sur k de 203

(on peut décaler l'origine de k d'autant qu'on veut sans changer quoi que ce soit et les formules sont équivallentes à

Citation :
b = 5*k-739
o = 3716-18*k
n = 11*k-2231
a = 2231-10*k
e = 1485-7*k

k = 203
b = 5*203-739=276
o = 3716-18*203=62
n = 11*203-2231=2 k < 203 donne n < 0
a = 2231-10*203=201
e = 1485-7*203=64

soit en posant k = q + 203
b = 276 + 5q
o = 62 - 18q
n = 2 + 11q
a = 201 - 10q
e = 64 - 7q

et avec q = 1 ou 2 pour avoir des solutions convenables (tous > 9) sans besoin de tableur pour faire ça.
la valeur de n est > 9 ssi q 1 (voir n = ...)
la valeur de o est > 9 ssi q 2 (q = 3 donne o = 8 < 9)

le gros du travail était de résoudre le système "dans l'ensemble des réels" (avec des dénominateurs) ce que tu as fait.

Alors que moi j'ai résolu directement dans l'ensemble des entiers avec des PGCD et des algorithmes d'Euclide trafiqués sur des matrices au lieu de simples nombres)

De toute façon pas dit du tout, mais alors vraiment pas, que tous ces calculs soient du niveau Collège. même "Autre" !!
(déja résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues avec un paramètre ... bof ...)



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