Voici l'énoncé du problème "Chaque lettre a une valeur entière diférente et supérieure à 9. En additionnant la valeur des lettres ainsi que les chiffres -, BONNE ANNEE 2014 =746 mais aussi BANANE = 746, BONBONNE = 746 et ANNABON = 746. Combien de valeurs différentes la lettre B peut-elle prendre?
Voici où j'en suis/ De la 1re égalité, je peux écrire: BONNEANNEE = 739.
De la 2de égalité, je tire ANNA = 746 - B - E . Je porte cette valeur dans la denière égalité, j'en tire que BON = B+ E.
Maintenant, je bloque.
D'avance, je vous remercie pour e que vous m'écrirez.
Bonjour
Il y a un souci car
En résolvant le système suivant d'inconnues a,b,e,o en fonction de n
b+o+4n+a+3e =739
b+2a+2n+e =746
2b+2o+3n+e=746
2a+3n+b+o=746
on trouve
a=(2331-10n)/10 ; b =(767 +5n)/5 ; e =(732-5n)/5 ; o = (732-10n)/5
et ainsi pour a par exemple il est difficile lorsqu'on retranche un multiple de 10 à 2331 de trouver un multiple de 10
A+
Bonjour,
des méthodes avancées (hors sujet, et hors programme) donnent pourtant des solutions entières !
b = -739 + 5k
o = 3716 - 18k
n = -2231 + 11k
a = 2231 - 10k
e = 1485 - 7k
pour k entier quelconque et si on veut des solutions > 0, pour les valeurs de k = 203, 204, 205 et 206
sauf erreurs
trouver ces formules est complètement en dehors de tout programme
mais une fois ces formules obtenues (on va dire par divination) on peut calculer les 4 solutions et les vérifier.
Geo3 prétend que ce problème est impossible
je te fournis (directement et sans explications car c'est impossible à ce niveau "collège" de fournir le "comment" : c'est du calcul matriciel avec l'algorithme d'Euclide sur les lignes et colonnes des matrices etc) :
b = 5*k-739
o = 3716-18*k
n = 11*k-2231
a = 2231-10*k
e = 1485-7*k
k = 203
b = 5*203-739=276
o = 3716-18*203=62
n = 11*203-2231=2 k < 203 donne n < 0
a = 2231-10*203=201
e = 1485-7*203=64
k = 204
b = 5*204-739=281
o = 3716-18*204=44
n = 11*204-2231=13
a = 2231-10*204=191
e = 1485-7*204=57
k = 205
b = 5*205-739=286
o = 3716-18*205=26
n = 11*205-2231=24
a = 2231-10*205=181
e = 1485-7*205=50
k = 206
b = 5*206-739=291
o = 3716-18*206=8 k > 206 donne o < 0
n = 11*206-2231=35
a = 2231-10*206=171
e = 1485-7*206=43
tu peux vérifier que par exemple avec k = 206
BONNE ANNEE 2014 donne 291+8+35+35+43+171+35+35+43+43+2+0+1+4 = 746
et les autres de même
etc.
et donc 4 solutions pour B : 276, 281, 286, 291
évidemment si tu ne cherchais pas à résoudre ce problème mais à fabriquer un problème qui tienne la route c'est une autre histoire hein...
Re
En fait j'avais résolu le système sans le ""a ""dans la 1ère équation : correction ( sorry): en résolvant en fonction de n on a
pour
b+o+4n+a+3e =739
b+2a+2n+e =746
2b+2o+3n+e=746
2a+3n+b+o=746
on trouve
a=(2231-10n)/11 ; b =(3026 +5n)/11 ; e =(718-7n)/11 ; o = (718-18n)/11
ainsi
il "" ne reste plus qu'à "" ( pour rire ) chercher n > 9 tel que les 4 numérateurs soient divisibles par 11;
Avec un tableur on peut en trouver au moins un ( sans nécessairement les trouver tous) mais puisque mathafou en a trouvé 2 par une méthode qui m'est inconnue , je peux juste vérifier que pour le k ( de mathafou) = 205 le n = 24 et a = (2231-240)/11 = 1991/11 181 comme mathafou a trouvé
A+
Pour pousuivre ta méthode jusqu'au bout : on veut donc que
2231-10n soit multiple de 11
cela s'écrit (sans tableur) :
202*11 + 9 - 11n + n multiple de 11 et donc 9 + n multiple de 11
en d'autres termes n = 2 + 11k, k un entier quelconque
et donc a = (2231-10n)/11 = (2231 - 10*(2 + 11k))/11 = 201 - 10k
on vérifie alors que les autres sont par un hasard "extraordinaire" aussi automatiquement multiples de 11 !!
3026 + 5n = 3026 + 5*(2 + 11k) = 3036 + 55k = 276*11 + 55k
(ce qui donne b = 276 + 5k)
puis
718 - 7n = 718 - 7*(2 + 11k) = 704 - 77k = 64*11 - 77k
(et donc e = 64 - 7k)
et
718 - 18n = 718 - 18*(2 + 11k) = 682 - 18*11k = 62*11 - 18*11k
(et donc o = 62 - 18k)
ce qui redonne exactement mes formules avec un décalage sur k de 203
(on peut décaler l'origine de k d'autant qu'on veut sans changer quoi que ce soit et les formules sont équivallentes à
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