Niveau LaTeX

t

Posté par
joujo 01-10-13 à 20:05

. f admet au plus un point :

On suppose que $a_1,a_2$ sont 2 points fixes de f

$\Vert \vec {f} (a_1)- \vec {f} (a_2)\Vert$ < $\mid a_1-a_2\mid$

$\Vert \vec {a_1}- \vec {a_2}\Vert$ < $\mid a_1-a_2\mid$ : absurde

donc f admet au plus un point fixe

. existence du point fixe

Soit g : K $\to \R$

x $\mapsto$ $\Vert$ f(x)-x $\Vert$

f est continue car 1 lipschitzienne id est continue

$\Vert$ $\Vert$ est continue

Donc g est continue

K étant compact, g atteint sa borne inf en un point $\vec {a}$ de K

Supposons $\vec {f}(\vec{a}) \neq \vec{a}$

alors $g(f(\vec{a})) = \Vert (\vec {f}^{2}(\vec{a})) - \vec {f}(\vec{a})\Vert < \Vert (\vec {f}(\vec{a})) - (\vec{a})\Vert = g(\vec{a})$

ce qui est absurde car $g(\vec{a}) = inf (\vec{g})$

donc $\vec {f}(\vec{a}) = \vec{a}$

$\vec{a}$ est un point fixe de f

Posté par Validation latex 01-10-13 à 21:02

Montrer qu'une application $\vec {f}$ d'une partie K compact d'un evn (E, $\Vert$ $\Vert$ ) dans elle-même telle que $\Vert \vec {f} (x)- \vec {f} (y)\Vert$ < $\Vert x-y\Vert$ admet un et un seul point fixe

. f admet au plus un point :

On suppose que $a_1,a_2$ sont 2 points fixes de f

$\Vert \vec {f} (a_1)- \vec {f} (a_2)\Vert$ < $\Vert \vec {a_1}- \vec {a_2}\Vert$

$\Vert \vec {a_1}- \vec {a_2}\Vert$ < $\Vert \vec {a_1}- \vec {a_2}\Vert$ : absurde

donc f admet au plus un point fixe

. existence du point fixe

Soit g : $\\ \begin{array}{ll} \\ K \to \R \\ x \mapsto \Vert f(x)-x \Vert \\ \end{array}.$

f est continue car 1 lipschitzienne

id est continue

$\Vert$ $\Vert$ est continue

Donc g est continue

K étant compact, g atteint sa borne inf en un point $\vec {a}$ de K

Supposons $\vec {f}(\vec{a}) \neq \vec{a}$

alors $\vec{g}(f(\vec{a})) = \Vert (\vec {f}^{2}(\vec{a})) - \vec {f}(\vec{a})\Vert < \Vert (\vec {f}(\vec{a})) - (\vec{a})\Vert = \vec{g}(\vec{a})$

ce qui est absurde car $\vec {g}(\vec{a}) = inf (\vec{g})$

donc $\vec {f}(\vec{a}) = \vec{a}$

$\vec{a}$ est un point fixe de f

*** message déplacé ***

Posté par re : t 02-10-13 à 11:55

Bonjour joujo,

Que cherches-tu à faire ? il n'y a pas de question (ni de maths ni relative au LaTeX) dans tes messages ?

Si tu souhaites utiliser le LaTeX de l'île des maths pour envoyer un message privé par mail à un ami par exemple (mais pas pour publier sur un site externe, merci !), tu peux rédiger ton message et capture l'aperçu avant de poster, mais ne poste pas STP sur le forum si ce message n'est pas destiné à nos membres.

Merci.

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