Pour rappel les règles d'une suite de COLLATZ :

On part d'un nombre entier positif non nul quelconque X1.
A Xn-1 succède Xn tel que si Xn-1 est pair Xn=Xn-1/2 et si Xn-1 est impair Xn=3*Xn-1+1.
On établie ainsi une suite de COLLATZ.
La conjecture non démontrée jusqu'à aujourd'hui est que toute suite de COLLATZ quelque soit X1 se termine toujours par 1 puis répétition du cycle trivial 1, 4 , 2 ,1.

On remarque que l'application des règles ci dessus définies consiste en faits à passer de l'ensemble des nombres entiers naturels à l'ensemble des impairs non divisible par 3.
En effet comme tout nombre pair est divisé par 2 le résultat important est le premier successeur impair qui ne pourra jamais être divisible par 3 car obtenu à partit de 3x+1.

Si on inverse la règle 3*X+1 par (Y-1)/3 les nombres obtenus par l'application de la règle 3*X+1 à (Y-1)/3 sont les nombres Y qu sont tous les nombres impairs non divisible par 3.

Si Y est 1 modulo 3 on a la suite (Y*4^n-1)/3 des nombres impairs qui donnent Y comme successeur impair unique de tous les nombres (Y*4^n-1)/3 pour n de 1 à l'infini.
Si Y est 2 modulo 3 on a la suite (Y*2^(2n-1)-1)/3 des nombres impairs qui donnent Y comme successeur impair unique de tous les nombres (Y*2^(2n-1)-1)/3 pour n de 1 à l'infini.

Donc tout nombre entier positif impair est représenté une fois et une seule par :
(Y*4^n-1)/3 si Y 1 modulo 3 ou (Y*2^(2n-1)-1)/3 si Y 2 modulo3

Pour rappel les règles d'une suite de COLLATZ :

On part d'un nombre entier positif non nul quelconque X1.
A Xn-1 succède Xn tel que si Xn-1 est pair Xn=Xn-1/2 et si Xn-1 est impair Xn=3*Xn-1+1.
On établie ainsi une suite de COLLATZ.
La conjecture non démontrée jusqu'à aujourd'hui est que toute suite de COLLATZ quelque soit X1 se termine toujours par 1 puis répétition du cycle trivial 1, 4 ; 2 ; 1.

On remarque que l'application des règles ci dessus définies consiste en faits à passer de l'ensemble des nombres entiers naturels à l'ensemble des impairs non divisible par 3.
En effet comme tout nombre pair est divisé par 2 le résultat important est le premier successeur impair qui ne pourra jamais être divisible par 3 car obtenu à partit de 3x+1.

Si on inverse la règle 3*X+1 par (Y-1)/3 les nombres obtenus par l'application de la règle 3*X+1 à (Y-1)/3 sont les nombres Y qu sont tous les nombres impairs non divisible par 3.

Si Y est 1 modulo 3 on a la suite (Y*4^n-1)/3 des nombres impairs qui donnent Y comme successeur impair unique de tous les nombres (Y*4^n-1)/3 pour n de 1 à l'infini.
Si Y est 2 modulo 3 on a la suite (Y*2^(2n-1)-1)/3 des nombres impairs qui donnent Y comme successeur impair unique de tous les nombres (Y*2^(2n-1)-1)/3 pour n de 1 à l'infini.

Donc tout nombre entier positif impair est représenté une fois et une seule par :
(Y*4^n-1)/3 si Y 1 modulo 3 ou (Y*2^(2n-1)-1)/3 si Y 2 modulo3.

On peut définir la table de COLLATZ avec pour colonne 0 les  nombres impairs non multiple de 3 Y dans leur ordre naturel et les nombres des colonnes n suivantes pour n de 1 à l'infini sont (Y*2^2n-1)/3si Y est 1 modulo 3 ou (y*(2^n-1)-1)/3 si Y est 2 modulo 3.

La première colonne étendue à l'infini contient tous les nombres impairs non divisible par 3 une fois et seulement une fois.
Toutes les colonnes hors la première contiennent tous les nombres impairs une fois et seulement une fois
Pour chaque ligne le premier nombre de la ligne est le résultat impair UNIQUE de l'application de la règle de COLLATZ à chaque autre nombre de la ligne .
Enfin l'essentiel 1 est le seul nombre présent deux fois en première et deuxième colonnes sur la première ligne, conjecture vérifiée oblige!

Cette table permet de vérifier la validité de la conjecture et donne d'autres enseignements, par exemple :
- le nombre de nombres entiers qui commencent une suite de COLLATZ de longueur n entier ne comptant que les étapes impaires avant d'atteindre 1 est infini quelque soit n, pour n=1 on a la suite infinie (4^,n-1)/3.