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Tangente à une fonction/concours interne
Bonsoir
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
On considère pour tout réél k:
la courbe C représentant la fonction f définie sur [0;+00] par f(x)=lnx + k
la courbe D représentant la fonction g définie sur [0;+00] par g(x)=-1/2x^2 + k
Quelle propriété ont les tangentes aux deux courbes?
Je sais que les tangentes en a ont pour équation h'(x)(x-a)+h(x) avec ici f'(x)=1/x et g'(x)=-x. Mais pour quelle(s) valeur(s) de a dois-je les calculer?
Merci d'avance pour votre aide?
**titre complété**
Bonjour,
Principe:
tu écris l'équation réduite de la droite (T1) passant par le point(a;f(a)) et de la droite (T2) passant par le point (b;f(b))
(T1) et (T2) sont confondues si et seulement si, ces 2 droites ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine
bonjour,
énoncé flou, mais on peut deviner qu'il s'agit de comparer les tangentes à chacune des courbes en deux points de même abscisse
(de même "a", qui reste écrit "a" en littéral, sans valeur particulière ...)
c'est ça qui est intéressant dans "les tangentes" (en général)
sinonPirho se propose de chercher les tangente communes , ce qui est une autre question...
Bonjour mathafou
effectivement je n'avais pas bien interprété l'énoncé
par contre je ne vois pas bien, mais ça m'échappe sûrement, quel est l'intérêt pédagogique d'une telle demande.
Bonjour,
La prof vient de compléter en nous disant d'utiliser le logiciel Géogébra.
Ce que je viens de faire et donc il n'y a pas de tangente commune.
Sinon, on a Tf(x)=f'(x)(x-a)+f(a)=1/x(x-a)+ln(a)+k=-a/x + ln(a)+1+k
Et Tg(x)=g'(x)(x-a)+g(a)= -x(x-a)-1/2a^2 + k = -x^2 +ax -1/2 a^2 + k.
va savoir...
en tout cas, pour ces fonctions là spécifiquement, elles ont une propriété intéressante valable quelque soit a et quel que soit k ...
c'est cette propriété qui est demandée.
bon, ça ne casse as trois pattes à un canard comme on dit vu qu'elle est en quelque sorte "évidente" avec ce qui a été écrit jusque là (les dérivées) ;D
on peut remarquer que en variant k, c'est l'ensemble de tout qui est translaté verticalement, propriétés des tangentes comprises.
donc "quel que soit k" est normal.
ta formule de la tangente est fausse
la tangente en(a;f(a)) s'écrit y=f'(a)(x-a)+f(a)
de plus ton écriture Tfx)=... et Tg(x)=... n'est pas correcte
si
il y a une tangente commune , mais bon, comme ce n'est pas la question...
sur ce je vous laisse, je ne faisais que passer.
mathafou pourrais-tu poursuivre car j'ai un problème urgent
je dois quitter; je reviendrai vers 17h30
Ainsi,
la tangente en(a;f(a)) s'écrit y1=f'(a)(x-a)+f(a)=1/a(x-a)+ln(a)+k
et la tangente en(a;g(a)) s'écrit y2=g'(a)(x-a)+g(a)= (1/2)a^2 -ax +k
de retour.
oui
question rédaction c'est y tout court
il ne te serait pas venu à l'idée d'écrire x1 pour l'une et x2 pour l'autre
pour les ordonnées y c'est pareil
si on veut dire la tangente 1 et la tangente 2 on écrit
d1 : y = ...
et d2 : y = ...
on peut développer réduire et ordonner (en x) pour avoir une forme bien nette d'équation réduite pour chacune
(histoire de les comparer, il faut qu'elles soient sous la même forme ! tout en vrac on n'y verra rien du tout)
Bonsoir,
Cela donne
d1 : y = (1/a)x1 + (-1+lna+k)
et d2 : y = -ax2 + [(1/2)a^2+k]
Par conséquent m1m2 = -1
Ce qui signifie que les tangentes sont perpendiculaires
interprétation de travers de ce que je disais en forme de boutade :
si on écrit y1 à tort pourquoi ne pas avoir écrit x1 à tort ...
pfff 
c'est x et y un point c'est tout.
à part ça, conclusion correcte
à titre d'exo supplémentaire, vu que ce n'est pas demandé :
chercher la tangente commune, si on définit g sur ]-oo; +oo[
je disais
si
il y a une tangente commune
Bonsoir,
Merci à tous pour votre aide.
Par contre, je ne vois pas comment on peut trouver la tangente commune.
Bonjour,
Principe:
tu écris l'équation réduite de la droite (T1) passant par le point(a;f(a)) et de la droite (T2) passant par le point (b;g(b))
(T1) et (T2) sont confondues si et seulement si, ces 2 droites ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine
ce qui donne un système de deux équations en les deux inconnues a et b, abscisses des points de contact de la tangente commune avec la courbe de f et avec la courbe de g
petit problème ici, avec des logarithmes, on ne pourra obtenir que des valeurs approchées (par approximations successives à la précision que l'on veut)
Bonjour
est-ce bien nécessaire d'écrire les équations des tangentes, si c'est juste pour conclure qu'elles sont perpendiculaires ? calculer leurs coeffs directeurs, à savoir f'(x) et g'(x) pour les tangentes aux points d'abscisse x, aurait été bien suffisant pour constater que le produit de ces coeffs directeurs vaut -1 et que par conséquent les tangentes sont perpendiculaires, non ? (et ç aurait évité à superninie de montrer à quel point elle ne maîtrise pas les écritures d'équations de tangentes ....)
c'est justement pour réviser les équations de tangentes qu'on a laissé poursuivre dans cette voie (un exercice dans l'exercice)
on est d'accord, il est clair que les coefficients directeurs suffisaient 
Perso j'ai toujours refusé que mes élèves apprennent par cœur cette équation de tangente (justement pour leur éviter les déboires auxquels est confrontée superninie)
ils savaient en calculer le coeff directeur, grâce à la dérivée , et ils savaient écrire le coeff directeur d'une droite (AM), où A(a, f(a)) et M(x,y) un point quelconque de la tangente (le fameux "différence des ordonnées sur différence des abscisses")
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