Bonjour,
les rectangles doivent-ils être tous différents ou peut-on prendre deux fois le même ?

On peut avoir plusieurs fois le même rectangle ce qui ne complique pas la tâche , bien au contraire .
Imod

Alors

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on peut trouver seize rectangles ne vérifiant pas la propriété en prenant deux fois chacun des rectangles de dimension
(1;15) (2;14) (3;13) (4;12) (5;11) (6;10) (7;9) (8;8)

Excellent contre-exemple

Après , comment généraliser à  n+1 rectangles dont les côtés entiers sont compris entre 1 et n ?

Imod

Bonsoir Imod.
J'étais dans un endroit sans réseau, j'espère que tu excuseras ma réponse tardive et sans vraie réflexion.
La généralisation est évidente si n est impair.
Si n est pair alors il me semble qu'avec n+1 rectangles on est assuré d'en trouver trois tels que A peut recouvrir B lequel peut recouvrir C.

Bonjour,
Si on ne tient pas compte des carrés et des symétriques on trouve  105 rectangles de 1X2 à 14x15  

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Si on en choisi au hasard 16  on trouve toujours des recouvreurs   .
Les cas les moins chanceux se comptent parmi les petits premiers facteurs suivis des deuxièmes grands facteurs.

ex  1x14  ou 2x14 ou 3x13

Pas de problème Verdurin , tu es sur la bonne voie

@Dpi : tu es sur l'exemple de Verdurin , il faut trouver en quoi ces rectangles font obstacle .

Imod

Je donne un indice en image

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Suite,

En faisant des séries de tirages aléatoires de 16 rectangles je trouve un moyenne proche de 5.
Si  on peut garder plusieurs fois les mêmes  "recouvreurs"

Un implicite dans les contre-exemples de Verdurin : si on inscrit un rectangle de côtés a , b dans un rectangle de côtés a+x , b-x  alors x=0 , pourquoi ?

Imod

PS : la démonstration n'est pas calculatoire .
Imod

Une démonstration en image.
On regarde les rectangles possibles ( les carrés sont des rectangles )

les rectangles possibles sont en vert et on a éliminé les symétriques : le rectangle (2;1) est le même que le rectangle (1;2).
À partir d'un rectangle donné, ici le rectangle (5;3) on regarde quels rectangles il recouvre et quels rectangles le recouvre.

On voit alors que les rectangles non superposables sont liés aux « diagonales descendantes ».
Si n=2k on a trois « diagonales descendantes » de longueur k

et donc au plus n rectangles ne vérifiant pas la propriété demandée.
Si n=2k+1 on a une « diagonale descendante » de longueur k+1 et on a donc un tas de 2(k+1)=n+1 rectangles ne vérifiant pas la propriété demandée.

C'est ça et si on veut être complet , un rectangle ne peut pas en recouvrir un autre de la même diagonale car ils ont le même périmètre :



Le périmètre du rectangle bleu est strictement inférieur au rouge qui est inférieur au noir .

Imod

Bonjour

Il m'arrive ( de plus en plus souvent ) de revenir sur des vieux problèmes aux énoncés simples et nécessitant peu de connaissances ou de virtuosité . Je viens de retrouver celui-ci en me demandant comment j'avais pu rater une solution de niveau collège ( en gardant l'idée de la pyramide)  .

La solution de Verdurin laisse quelques failles

Imod

Je donne ma figure en blanké , on choisit de la regarder ou pas :

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