Salut. Je ne comprends pas très bien tes notations.

Le "." est "et" et le "+" est "ou" ?

J'ai lu les 3 premiers, ils m'ont l'air correct, quoi que tu mets un peu trop de parenthèses je trouve (mais bon si ça peut t'aider à ne pas te tromper alors garde les).

Pour la 6 :

((p → q) + (q → r)) → (p →r)
((¬p+q)+(¬q+r))→(p→r)
¬(¬p+q)+(¬q+r))+(¬p+r)
¬(¬p+q+(¬q)+r)+(¬p+r)
¬(¬p+r)+(¬p+r)
¬A+A en notant A¬p+r
1
C'est donc une tautologie.

Merci pour ta réponse plutôt rapide

Oui . = ET et + = OU

Pour les parenthèses en réalité elles me dérangent plus qu'elles ne m'aident mais je ne sais pas trop comment m'en débarrasser. Dans mon cours je n'ai que les règles de l'algèbre de boole et j'ai du chercher sur le web pour trouver les règles qui permettent de supprimer les "implique" → et "équivaut" ↔.

Merci pour la 6) j'avais fait plusieurs essaie sans jamais aboutir à 1, je manque encore un peu de "flair".

Que penses-tu des 4) et 5) ? Ce sont forcément des tautologies, j'ai vérifié avec les tables et je pense que la démonstration est correcte si les 3 premières le sont mais on est jamais sûr de rien.

Merci encore pour ton aide

Alors, tu te compliques un peu la vie en fait.

4) (p → q) → (¬q → ¬p)
= (¬p + q) → (q + ¬p)
= ¬(¬p + q) + (q + ¬p)

Après pas besoin de continuer. On pose A= ¬p+q
On alors ¬A+A qui est évidemment une tautologie.

5) (p ↔ q) → (p → q)
(p ↔ q) c'est quoi ? C'est (p→q).(q→p), en particulier c'est (p→q), donc ça implique forcément (p→q). C'est donc une tautologie.

Mais c'est bien de savoir le faire formellement avec les règles de calcul comme tu fais aussi. Mais le fait de bien réfléchir à ce que tu es en train de montrer ça permet déjà de vérifier tes résultats.

Merci pour ta réponse.

C'est vrai que je me suis peut-être un peu compliqué la vie j'avoue.
Et il est vrai aussi que de réfléchir à ce qu'on veut montrer est important. J'ai commencé à essayant plusieurs possibilité comme pour simplifier les fonctions algébrique et je me rend compte qu'il faut déjà savoir ce qu'on veut montrer, le résultat qu'on doit obtenir pour savoir par où commencer, c'est crucial.

Merci encore pour ton aide !

Bon apparemment les 4, 5 et 6 sont fausse.

Je dois renvoyer une correction. Voilà ce que j'ai fait !

4 bis) (p → q) → (¬q → ¬p)
= (¬p + q) → (q + ¬p) élimination de →
= ¬(¬p + q) + (q + ¬p)         élimination de →
= (p . ¬q) + (q + ¬p) De Morgan
= (q + ¬p) + (p . ¬q) commutativité
= (q + ¬p) + p . (q + ¬p) + ¬q distributivité
= (q + ¬p) + (q + ¬p) . p + ¬q commutativité
= (q + ¬p) . p + ¬q idempotence
= p . (q + ¬p) + ¬q commutativité
= p . q + p . ¬p + ¬q distributivité
= p . q + 0 + ¬q non contradiction
= p . 0 + q + ¬q commutativité
= p . 0 + 1 tiers exclu
= 0 + 1 élément absorbant
= 1

5 ) (p ↔ q) → (p → q)
= ((p . q) + (¬p . ¬q)) → (p → q) élimination de ↔
= ((p . q) + (¬p . ¬q)) → (¬p + q) élimination de →
= ¬((p . q) + (¬p . ¬q)) + (¬p + q) élimination de →
= ((¬p + ¬q) . (p + q)) + (¬p + q) De Morgan
= (¬p + q) + ((¬p + ¬q) . (p + q)) commutativité
= (¬p + q) + (¬p + ¬q) . (¬p + q) + (p + q) distributivité
= (¬p + q) + (¬p + q) . (¬p + ¬q) + (p + q) commutativité
= (¬p + q) . (¬p + ¬q) + (p + q) idempotence
= (¬p + q) . ¬p + (¬p + q) . ¬q + (p + q) distributivité
= (¬p + q) . (¬p + q) + ¬p . ¬q + (p + q) commutativité
= (¬p + q) + ¬p . ¬q + (p + q) idempotence
= (¬p + q) + ¬p . (p + q) + ¬q commutativité
= ¬p + (¬p + q) . (p + q) + ¬q commutativité
= ¬p + (¬p + q) . p + (¬p + q) . q + ¬q         distributivité
= ¬p + p . (¬p + q) + (¬p + q) . q + ¬q         commutativité
= ¬p + p . (¬p + q) . q + ¬q idempotence
= ¬p + p . ¬p + p . q . q + ¬q distributivité
= ¬p + p . ¬p + p . q + ¬q idempotence
= 1 . ¬p + p . q + ¬q tiers exclu
= 1 . 1 . q + ¬q tiers exclu
= 1 . 1 . 1 tiers exclu
= 1 . 1
= 1

6) ((p → q) + (q → r)) → (p →r)
= ((¬p + q) + (q → r)) → (p → r) élimination de →
= ((¬p + q) + (¬q + r)) → (p → r) élimination de →
= ((¬p + q) + (¬q + r)) → (¬p + r) élimination de →
= ¬((¬p + q) + (¬q + r)) + (¬p + r) élimination de →
= (¬(¬p + q) . ¬(¬q + r)) + (¬p + r) De Morgan
= (¬p + r) + (¬(¬p + q) . ¬(¬q + r)) commutativité
= (¬p + r) + ((p . ¬q) . ¬(¬q + r)) De Morgan
= (¬p + r) + ((p . ¬q) . (q . ¬r)) De Morgan
= (¬p + r) + (p . ¬q) . (¬q + r) + (q . ¬r) distributivité
= (¬p + r) + (¬p + r) . (p . ¬q) + (q . ¬r) commutativité
= (¬p + r) . (p . ¬q) + (q . ¬r) idempotence
= (¬p + r) . (p . ¬q) + q . (p . ¬q) + ¬r distributivité
= (¬p + r) . (p . ¬q) + (p . ¬q) . q + ¬r commutativité
= (¬p + r) . (p . ¬q) . q + ¬r idempotence
= (¬p + r) . q . (p . ¬q) + ¬r commutativité
= (¬p + r) . q . ¬r + (p . ¬q) commutativité
= (¬p + r) . q . ¬r + p . ¬r + ¬q distributivité
= (¬p + r) . q . ¬r + ¬r . p + ¬q commutativité
= (¬p + r) . q . ¬r . p + ¬q idempotence
= (¬p + r) . ¬r . q . p + ¬q commutativité
= (¬p + r) . ¬r . p . 1 tiers esclu
= ¬r . (¬p + r) . p . 1 commutativité
= ¬r . ¬p + ¬r . r . p . 1 distributivité
= ¬r . ¬r + ¬p . r . p . 1 commutativité
= ¬r + ¬p . r . p . 1 idempotence
= ¬p + ¬r . r . p . 1 commutativité
= ¬p + 0 . p . 1 non contradiction
= 0 + ¬p . p . 1 commutativité
= 0 + 0 . 1 non contradiction
= 0 + 1 . 0 commutativité
= 1 + 0 . 0 commutativité
= 1 + 0
= 1

Quelqu'un peut-il me dire si ces démonstrations sont exactes avant que j'envoie le corrigé ?

Merci d'avance.

J'ai l'impression que tout est juste, vraiment bizarre.

Tu ne t'es pas trompé dans l'énoncé peut-être ?

Par exemple pour la 5 : (p ↔ q) → (p → q)

Si (p ↔ q) alors en particulier (p → q) donc la 5 est clairement une tautologie, comme nous l'avions déjà dit il y a quelques jours. Vraiment curieux tout ça...

Voici les commentaire du correcteur :

Le 4bis qui est une forme non-raccourcie du 4 est plus interessant que son homologue car il
nous permet de corriger quelques applications fautives.
La ligne 4 a le defaut de ne pas separer (par des parentheses) en 2 constituants (doubles)
l'enonce dont le connecteur principal est un Ú.
Ceci cree une ambiguite : est ce A Ù (B Ú C) ou (A Ù B) Ú C ?
On comprend des la ligne suivante à quoi prepare cette associativite fautive.
L'associativite de la ligne 5 est irreguliere car elle melange des Ù et des Ú.
Les regles disent :
ASSOCIATIVITE
A+(B+C) = (A+B)+C
A.(B.C) = (A.B).C
Un seul connecteur est en jeu à chaque fois.
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Je vous donne la clef de la demonstration : au lieu de decortiquer le constituant de gauche
(interdit parce qu'il propose un connecteur different du principal), decomposez… celui de
droite.

Pour la 5 :
Ligne 4, vous etes victime de l'application de plusieurs regles en meme temps.
Si vous aviez applique successivement les De Morgan, vous n'auriez sans doute pas oublie de
nier q.
La faute qui suit (sur la meme ligne) est du meme type que dans l'exercice (4).

Pour la 6 :
L'oubli d'une parenthese à la ligne 3 ruine la suite de la demonstration (qui était un De
Morgan en realite).
Mais de toutes façons, votre utilisation de l'associativite est à revoir.

Je les ai refait plusieurs fois et je pense que ma correction est correcte mais comme ma première tentative semblait aussi correct mais visiblement elles ne l'était pas.