Bonjour,
Un peu de géométrie  pour changer.

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Je trouve que le grand cercle a un diamètre de 2 mm

Bonjour,

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Je dirais (0,5)(1+2/3)1,077 mm

Bonsoir.  De retour brièvement étant toujours pris par ailleurs.
Je tente 2 hypothèses qui donnent sans calcul :

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(1+V6-V2)/2 soit 1.017638 environ

A posteriori

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Un dessin trop rapide centre la tête au sommet du triangle équilatéral ,mais une observation plus éclairée le situe légèrement plus au nord ce qui augmente le diamètre je vais provisoirement dire 1.02mm mais je cherche la ruse...

Aucune bonne réponse pour le moment mais on ne se décourage pas !
Je rappelle qu'on cherche le diamètre du grand cercle, je ne comprends pas bien comment vous arrivez à trouver quelque chose d'inférieur à 2mm mais bon, même si vous avez donné le rayon, c'est faux quand même, désolée

oui

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Si le centre était au sommet du triangle on aurait bien 2 mm comme
je l'avais présumé mais en observant la zone centrale on voit que si
c'était le cas on aurait deux petits segments (tangents )de 0.134  or on trouve 0.155  et 0.134 d'où un écart de  0.021 ,je donne donc 2.021 mm

Bonjour,
Soit A le point de contact des deux petits cercles et K et L les points qui sont diamétralement opposés à A sur chacun des petits cercles.
Le segment [KL] est à l'intérieur du grand cercle et a pour longueur 2mm.
Le diamètre du grand cercle est donc supérieur à 2.
Et je suis étonnée de voir des propositions à peine supérieures à 1.
Quelque chose m'échappe ?

Messages croisés qui me rassurent

Tu as tout compris Sylvieg, il ne reste plus qu'à faire le calcul exact, pour le moment dpi a la meilleure valeur approchée

Je dis meilleure valeur approchée même si son approximation n'est pas correcte malheureusement

Comme je ne propose qu'une valeur approchée, je ne la blanke pas :
2,029

Bonjour,

par construction géométrique avec Geogebra il me dit :

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diamètre = 2.0275252317
le centre est à 0.0158559041 au dessus du sommet du triangle

On se rapproche, on se rapproche, mais la dernière décimale donnée n'est pas la bonne. En tout cas, c'est Sylvieg qui a la meilleure valeur approchée désormais

Oups, pas vu la réponse de mathafou qui est imbattable en valeur approchée mais maintenant il faut la valeur exacte pour le sport

hum...

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Joli même si je préfère l'écriture :

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Ma "démonstration" est très moche
elle est en fait ma construction géométrique traduite en calculs algébriques...

or cette construction géométrique est elle même conçue parce que Geogebra trace des coniques et des intersections avec celles-ci sans vergogne.
Le centre du cercle est ainsi l'intersection avec l'axe vertical d'une certaine hyperbole définie par ses foyers et un point, immédiat avec Géogébra.

le calcul algébrique consiste donc à déterminer l'équation exacte de cette hyperbole etc.

j'ai fait comme ça "à la hussarde" pour obtenir rapidement un résultat.

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1) construction des yeux et du triangle

on remarque immédiatement que AB = CD = 1 et donc que BC est vertical et = 1 aussi. (ABCD est un carré de côté 1)

2) le lieu des centres des cercles passant par C et tangents à (B) est une hyperbole de foyers B et C
le milieu S de BC est un de ces centres (un des sommets de l'hyperbole)
elle est ainsi parfaitement définie. ainsi que son intersection O cherchée, puis le rayon cherché = OB
Géogebra donne instantanément le résultat numérique approché



3) calculs
on détermine que les asymptotes sont à 60° de l'axe focal (lorsque le cercle est la tangente CV ou CV' )
l'équatiin de l'hyperbole, de centre (-1/2; -1/2) est donc (x+1.2)² - 3(y+1/2)² = K
K = -3/16 est déterminé car elle passe par S (-1/2; -1/4)

son intersection avec x = 0 donne

et la distance de ce point à C (-1/2; -1) calculée comme d'hab.

Je propose une autre version alors

Soit O le centre du grand cercle de rayon ,
Intéressons nous d'abord au rectangle en rouge de largeur le rayon des petits cercle donc et de longueur
On en déduit les coordonnées en vert et par Pythagore
Toujours avec Pythagore sur la première moitié des pointillés bleu, on trouve donc
Par identification d'où
On remplace dans et il ne reste plus qu'à résoudre cette équation du second degré.
Avantage, on trouve directement la formule donnée précédemment

Bonsoir. J'avais donné le rayon sans calcul en pariant (à tord) que le centre était au sommet du triangle. Je me suis quand même plongé dans les calculs après avoir fait une figure avec Geogebra et j'ai pris la même démarche que Vassillia. Beau petit exercice de géométrie à poser aux scolaires.

Je vais tenter une réponse avec  décimales issues d'un calcul par comparaison.
Par rapport au point central de la ligne des centres (tangence des deux cercles ,quelle est la longueur du segment qui le sépare du centre du cercle.
Je donne donc un diamètre de 2.028312162 mm

Par curiosité ,j'ai résolu l'équation de second degré qui donne le même résultat que la simplification avec 21
soit donc  2.027525232.

il me reste à chercher mon erreur de  3.8/10000

une autre construction plus traditionnelle (sans coniques) :

comme déja indiqué, on part du carré ABCD et du triangle équilatéral CDE
soit un cerce quelconque passant par C et D (centré sur la médiatrice), par exemple le cercle circonscrit au carré, et coupant (A) en M et N
la droite (MN) coupe (CD) en J
on a JM.JN = JC.JD = JT²
le point de contact T de la tangente issue de J avec le cercle (A) est aussi le point de contact avec le cercle cherché.
son centre O est donc l'intersection de la médiatrice avec (AT)



il s'agit de la construction "classique" du cas "point, point, cercle" d'Appolonius :
construire les cercles "tangents" à 3 "objets" parmi points, droites, cercles,
(à 3 "cercles", ces cercles pouvant être dégénérés en point (rayon nul) ou droite (rayon infini))

Comme nous avons affaire à d'excellents participants, je me pose la question suivante:
Où est mon erreur?
Soit OC le segment qui éloigne le centre du grand cercle au nord du sommet du triangle équilatéral.
Le bon calcul donne  OC=0.0158559041
Ce qui par construction donne le rayon OR  = 1.0158559041
Comme AC =0.133974596     (AB-BC)
On obtient AO =AC-OC =0.1181186921
Donc avec Pythagore  OP=0.51376226158
Puis OT= 1.0376261158 qui est l'autre rayon ...

je n'ai pas compris d'où tu sors ton "par construction OR = 1.0158559041" (= OC+1 ??)
c'est faux

salut,
la groSSe cavalerie arrive toujours en retard

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Avec Xcas
LA FIGURE
O:=point(0);
A:=point(-1/2,-sqrt(3)/2);
B:=point(1/2,-sqrt(3)/2);
triangle(O,A,B);
C:=point(i/(4+2*sqrt(3))) // OEC est rectangle en C et (OE,OC)=75 degres;
E:=point(1/2,ordonnee(C));
cercle(E,1/2);
D:=inter_unique(droite(O,B),cercle(E,1/2));
I:=point(0,(sqrt(21)-6*sqrt(3)+6)/12) // demo ci-dessous;
cercle(I,distance(I,A));

LES CALCULS
simplifier(coordonnees(C));simplifier(coordonnees(D));simplifier(coordonnees(E));
I:=point(0,y):;F:=point(a,b):;
eq1:=longueur2(I,B)=longueur2(I,F)
eq2:=longueur2(E,F)=1/4
eq3:=det(coordonnees(vecteur(I,E)),coordonnees(vecteur(I,F)))=0
sol:=simplifier(solve([eq1,eq2,eq3],[y,a,b])) // l'ordonnee de I est sol[0][0]
simplifier(2*distance(point(0,(sqrt(21)-6*sqrt(3)+6)/12),A)) // diametre de la tete

Avec Xcas pour Firefox

mathafou
J'ai voulu partir de ta propre phrase:
Le centre est à 0.0158559041 du sommet du triangle.
Et j'ai cru que CR  = 1  

OK.

en partant de OA avec Pythagore le calcul de OT est correct (mais faute de frappe, il y a un 1 en trop par rapport à la valeur de OP)

OA est d'ailleurs la valeur de y dans le système de Vassillia 01-11-22 à 23:04



mais comme on ne la demandait pas, on ne résout ce système que en l'inconnue R