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thème : les fonctions, la partie entière

Posté par
omarlab05
21-09-21 à 11:33

Bonjour à tous
-j'ai un petit exercice merci beaucoup d'avance
exercice: résoudre dans R
E(x)=E(x²)
ma réponse :
S=x? [(1-5)/2;(1+5)/2]

Posté par
Glapion Moderateur
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 11:48

Bonjour, heu non ça n'est pas la solution. Comment as-tu trouvé ça ?

(par exemple x= 2 n'est pas une solution alors qu'il est dans ton intervalle et puis on voit vite qu'aucun x négatif ne peut être solution))

Posté par
omarlab05
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 11:56

c'est une demi-solution (Condition nécessaire mais pas suffisante)

Posté par
omarlab05
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 12:26

...

** image supprimée ** relire Q05 [lien]***

Posté par
omarlab05
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 12:26

désolé pour ma mauvaise écriture

Posté par
omarlab05
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 12:32

voici la vraie solution mais je ne sais pas comment la résoudre

thème : les fonctions, la partie entière

Posté par
bernardo314
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 13:24

Bonjour,

j'aurais tenté naïvement par tâtonnement pour voir :  si  x < 0 alors il est clair qu'on a pas de solution (comme remarqué par  Carpediem).

Si  x2 > x + 1 les deux nombres sont séparés de plus que 1 donc pas de solution non plus.
Si  0 < x < 1 alors  x2 < x < 1  les deux parties entières sont égales....  Ensuite on regarde ce qui reste ..

Posté par
omarlab05
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 13:57

?????

Posté par
omarlab05
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 14:25

Je ne comprends pas votre réponse, pouvez-vous l'expliquer clairement

Posté par
omarlab05
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 15:01

:D:D
Lorsque 𝑥<0 vous avez ⌊𝑥⌋<0 tout en ayant ⌊𝑥^2⌋≥0, donc il n'y a pas de solutions négatives.

Lorsque 𝑥≥2 vous avez 𝑥^2=(𝑥−1)𝑥+𝑥≥2+𝑥 et donc ⌊𝑥⌋ est toujours au moins 2 inférieur à ⌊𝑥^2⌋ et donc il n'y a pas de solutions supérieures ou égales à 2.

Lorsque ⌊𝑥⌋=0, cela met 0≤𝑥<1 et donc ⌊𝑥^2⌋=0 aussi. Toutes les valeurs de cette plage sont des solutions.

Cela ne laisse que le cas de 𝑥∈[1,2[ à considérer. Dans cet intervalle ⌊𝑥⌋1 nous demandons donc quelles valeurs de 𝑥 dans cet intervalle ont également ⌊𝑥^2⌋=1. Cela se produit clairement quand 1≤𝑥^2<2, et quand 𝑥^2 est-il inférieur à 2 ? Quand 𝑥<2. En effet, sur l'intervalle [1,2[ on a ⌊𝑥⌋=1=^2⌋

L'intervalle est alors [0,2[

Posté par
Glapion Moderateur
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 19:11

oui très bien, c'est ça.

Posté par
omarlab05
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 19:26

Merci pour votre aide

Posté par
carpediem
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 20:54

salut

deux nombres ont même partie entière s'il appartiennent au même intervalle [n, n + 1[

donc E(x) =E(x^2) \iff \{ x \in [n, n + 1[ \iff x^2 \in [n, n + 1[ \}

ce qui élimine immédiatement le cas x < 0 (pb de signe) et n 2  (car n \ge 2 \Longrightarrow x^2 > n + 1 et même x^2 \ge 2n

et donne immédiatement le cas n = 0 $ et $ x\in [0, 1]   (on prend 1 car 1 = 1^2

ne reste qu'à traiter le cas n = 1

posons x = 1 + d avec d \in [0, 1[

E(x) = E(x^2)\iff 1 = 1 + E(2d +d^2) \iff 0 \le 2d + d^2 < 1

....

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 21:14

Bonsoir,
Attention carpediem, ceci est difficile à lire :

Citation :
E(x) =E(x^2) \iff \{ x \in [n, n + 1[ \iff x^2 \in [n, n + 1[ \}
Au premier coup d'œil, on ne voit pas les accolades (en tous cas, j'ai mis un moment à les voir ).

Et il faudrait peut-être préciser quelque part que n est un entier.
Imiter ton "posons x = 1 + d avec d \in [0, 1[" par un "posons E(x) = n" ?
Ou se contenter d'implications pour démontrer x 0.

Posté par
carpediem
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 21:52

en fait j'ai mis des accolades pour ne pas utiliser des () ou des [] déjà utiliser pour les intervalles et bien distinguer la première équivalence entre les deux propositions avec la deuxième qui est elle-même une équivalence ...

oui bien sûr mais cela est relativement évident avec ma première phrase qui sous-entend bien ce qu'est n ...
d'ailleurs j'aurai du y mettre aussi une équivalence

globalement je n'ai pas tout détailler de toute façon et seulement donner les lignes directrices (du développement)  ... avec quelques détails parfois !!

Posté par
omarlab05
re : thème : les fonctions, la partie entière 21-09-21 à 22:58

Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : thème : les fonctions, la partie entière 22-09-21 à 13:55

de rien

Posté par
omarlab05
re : thème : les fonctions, la partie entière 23-09-21 à 12:39

carpediem @ 22-09-2021 à 13:55

de rien


Salut, je suis curieux de savoir si cette réponse est meilleure :
On a xE(x)x+1
et [sup][/sup]

Posté par
omarlab05
re : thème : les fonctions, la partie entière 23-09-21 à 13:17

Oops
On a xE(x)x+1
Et. x²E(x²)x² +1
Alors x²-x-1E(x²)-E(x) x²-x+1
x²-x-10 et 0 x²-x+1
(1-5)/2x(1+5)/2
Alors il y a trois  probabilités
E(x)=-1
Pas vraie car : Lorsque 𝑥<0 vous avez ⌊𝑥⌋<0 tout en ayant ⌊𝑥^2⌋≥0, donc il n'y a pas de solutions négatives.
E(x)=0 : Lorsque ⌊𝑥⌋=0, cela met 0≤𝑥<1 et donc ⌊𝑥^2⌋=0 aussi. Toutes les valeurs de cette plage sont des solutions.
E(x)=1 :
posons x = 1 + d avec d[0, 1[
E(x) = E(x^2) 1 = 1 + E(2d +d^2)02d + d^2 < 1
On a d [0;-1+2[
Alors x ]1;2[
Donc S=x[0;2[

Posté par
carpediem
re : thème : les fonctions, la partie entière 23-09-21 à 13:48

oui ça marche ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : thème : les fonctions, la partie entière 23-09-21 à 15:24

Bonjour,

Citation :
On a xE(x)x+1
Et. x²E(x²)x² +1

C'est pas plutôt E(x) x ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : thème : les fonctions, la partie entière 23-09-21 à 15:48

Pour trouver (1-5)/2 x (1+5)/2, on peut partir de ces deux inégalités :
x2 - 1 < E(x2)
et
-x -E(x).



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