Niveau école ingénieur

Théorème centrale limite

Posté par
toureissa 24-06-21 à 13:18

Bonjour,
J'ai besoin d'un coup de main pour la démonstration du théorème centrale limite.

Théorème :
Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi, d'espérance m et de variance $\sigma^2$ .

On pose $\bar{X_n}=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$ et

$Z_n=\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\bar{X_n}-m)$ .

On a alors
( $Z_n$ ) converge vers une loi normale centrée réduite.

Posté par re : Théorème centrale limite 24-06-21 à 13:49

Bonjour,
La démonstration peut être trouvée à beaucoup d'endroits (wikipédia, cours de proba de niveau L3, ...) :
wikipédia
As-tu déjà cherché une démonstration mais tu ne comprenais pas certaines étapes ?
Sinon, je t'invite à le faire.

Posté par re : Théorème centrale limite 24-06-21 à 19:18

Merci pour le lien , voici comment j'ai fait.
je pose $Y_i=\frac{X_i-m}{\sigma}$
$Z_n$ s'écrit alors $Z_n=\sum_{i=1}^{n}{\frac{Y_i}{\sqrt{n}}$
La fonction caractéristique de $Z_n$ est donnée par $\phi _{Z_n}(t)=E(e^{itZ_n})=E(e^{i\frac{t}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{Y_i}})=\phi_{\sum_{i=1}^{n}{Y_i} }(\frac{t}{\sqrt{n}})$

Les variables étant indépendantes, ona

$\phi _{Z_n}(t)=\phi_{\sum_{i=1}^{n}{Y_i} }(\frac{t}{\sqrt{n}})=\prod_{i=1}^{n}{\phi _{Y_1}(\frac{t}{\sqrt{n}})}=(\phi _{Y_1}(\frac{t}{\sqrt{n}}))^n$

En effectuant un DL ona

$\phi _{Y_i}(\frac{t}{\sqrt{n}})\sim \phi _{Y_i}(0)+\frac{t}{\sqrt{n}}\phi' _{Y_i}(0)+\frac{t^2}{2n}\phi ''_{Y_i}(0)$

ensuite ona
$E(Y_1)=-i\phi '_{Y_1}(0)=0\Rightarrow \phi' _{Y_1}(0)=0$

$V(Y_1)=-\phi ''_{Y_1}(0)=1\Rightarrow \phi'' _{Y_1}(0)=-1$

$\phi _{Y_1}(\frac{t}{\sqrt{n}})\sim 1-\frac{t^2}{2n}$

$\phi _{Z_n}(t)\sim (1-\frac{t^2}{2n})^n=e^{nln(1-\frac{t^2}{2n})}\rightarrow e^{-\frac{t^2}{2}}$

Merci vraiment !

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

probabilités en post-bac
1 fiches de mathématiques sur "probabilités" en post-bac disponibles.

Le site a rencontré un problème temporaire.
Merci de retenter l'opération plus tard

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Théorème centrale limite

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths