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Niveau école ingénieur
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Théorème centrale limite

Posté par
toureissa
24-06-21 à 13:18

Bonjour,
J'ai besoin d'un coup de main pour la démonstration du théorème centrale limite.


Théorème :
Soit (Xn)  une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi, d'espérance m et de variance \sigma^2.

On pose  \bar{X_n}=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} et

Z_n=\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\bar{X_n}-m).

On a alors
(Z_n) converge vers une loi normale centrée réduite.

Posté par
Maru0
re : Théorème centrale limite 24-06-21 à 13:49

Bonjour,
La démonstration peut être trouvée à beaucoup d'endroits (wikipédia, cours de proba de niveau L3, ...) :
wikipédia  
As-tu déjà cherché une démonstration mais tu ne comprenais pas certaines étapes ?
Sinon, je t'invite à le faire.

Posté par
toureissa
re : Théorème centrale limite 24-06-21 à 19:18

Merci pour le lien , voici comment j'ai fait.
je pose Y_i=\frac{X_i-m}{\sigma}
Z_n s'écrit alors Z_n=\sum_{i=1}^{n}{\frac{Y_i}{\sqrt{n}}
La fonction caractéristique de Z_n est donnée par \phi _{Z_n}(t)=E(e^{itZ_n})=E(e^{i\frac{t}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{Y_i}})=\phi_{\sum_{i=1}^{n}{Y_i} }(\frac{t}{\sqrt{n}})

Les variables étant indépendantes, ona

\phi _{Z_n}(t)=\phi_{\sum_{i=1}^{n}{Y_i} }(\frac{t}{\sqrt{n}})=\prod_{i=1}^{n}{\phi _{Y_1}(\frac{t}{\sqrt{n}})}=(\phi _{Y_1}(\frac{t}{\sqrt{n}}))^n

En effectuant un DL ona

\phi _{Y_i}(\frac{t}{\sqrt{n}})\sim \phi _{Y_i}(0)+\frac{t}{\sqrt{n}}\phi' _{Y_i}(0)+\frac{t^2}{2n}\phi ''_{Y_i}(0)

ensuite ona
E(Y_1)=-i\phi '_{Y_1}(0)=0\Rightarrow \phi' _{Y_1}(0)=0

V(Y_1)=-\phi ''_{Y_1}(0)=1\Rightarrow \phi'' _{Y_1}(0)=-1

\phi _{Y_1}(\frac{t}{\sqrt{n}})\sim 1-\frac{t^2}{2n}

\phi _{Z_n}(t)\sim (1-\frac{t^2}{2n})^n=e^{nln(1-\frac{t^2}{2n})}\rightarrow e^{-\frac{t^2}{2}}

Merci vraiment !



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