Niveau exercices

Théorème de Weierstrass par les probabilités

Posté par
Arkhnor 30-01-10 à 20:31

Bonjour.

On se propose de démontrer le théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein, par une méthode probabiliste.

Citation :

Soit $3$ f \, : \, [0,1] \, \to \, \mathbb{R}$ continue.

1) Soit $3$ (X, \mathfrak{F}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé et $3$ x \in [0,1]$ .
Soit $3$ (X_n)_{n \ge 1}$ une suite de variables aléatoires réelles sur $3$ X$ , indépendantes, et suivant la loi de Bernouilli de paramètre $3$ x$ .

On définit $3$ Y_n = \frac{1}{n}\Bigsum_{k = 1}^n X_k$ .

Montrer que pour tout $3$ \epsilon > 0$ , il existe $3$ \delta > 0$ indépendant de $x$ , tel que pour tout $3$ x \in [0,1]$ et tout $n \ge 1$ ,
$4$ \left{ \mathbb{E}(|f(Y_n) - f(x)| \; \mathbb{1}_{\left{|Y_n - x| < \delta\right}}) \le \epsilon \\ \mathbb{E}(|f(Y_n) - f(x)| \; \mathbb{1}_{\left{|Y_n - x| \ge \delta\right}}) \le \frac{1}{2n \delta^2}\sup_{t \in [0,1]} |f(t)|$

2) En déduire que $3$ f$ est limite uniforme sur $3$ [0,1]$ des polynômes de Bernstein $3$ B_n$ définis par $3$ B_n(x) = \Bigsum_{k = 0}^n {n\choose{k}} f(\frac{k}{n})x^k (1-x)^{n-k}$ , $3$ x \in [0,1]$

Je ne sais pas si cette démonstration est "classique", je la poste pour ceux qui ne connaissent pas.