Niveau terminale

Théorème des restes chinois.

Posté par
Raxouuw 12-05-16 à 11:03

Bonjour,

J'ai reçu un DM portant sur le théorème des restes chinois en spécialité maths. Voici l'énoncé :

" Soit des objets en nombre inconnu : Si on les compte par 3, il en reste 2 ; par 5, il en reste 3 et par 7, il en reste 2. Combien y a-t-il d'objets ? Réponse : 23.
En traduisant le problème en un système de congruences, résolvez le système et trouvez toutes les solutions au problème. "

J'ai déjà traduit le problème en un système de congruences, le voici : $\left\lbrace\begin{matrix} n \equiv 2 \left[3 \right]\\ n \equiv 3 \left[5 \right]\\ n \equiv 2 \left[7 \right] \end{matrix}\right.$ avec n le nombre d'objets.

Pour résoudre le système, j'ai pensé le résoudre en deux temps, avec deux "sous-systèmes" : $\left\lbrace\begin{matrix} n \equiv 2 \left[3 \right]\\ n \equiv 3 \left[5 \right] \end{matrix}\right.$ et résoudre le résultat obtenu avec la congruence $n \equiv 2 \left[7 \right]$ .

Cela revient à résoudre des équations de Bézout, mais j'obtiens après résolution des familles d'entiers incohérents, qui n'incluent pas le nombre 23 comme une solution à ce système.

Une petite aide ?

RaxouuW.

Posté par re : Théorème des restes chinois. 12-05-16 à 11:41

Bonjour,
Effectivement, tu peux commencer par considérer des systèmes à deux équations.
On considère donc d'abord $\left\lbrace\begin{array}{l}n\equiv2\,[3]\\n\equiv 3\,[5]\end{array}\right.$
Ce système est équivalent à l'équation ( $2\times3-1\times 5=1$ )
$n\equiv2\times(-1)\times5+3\times2\times3\,[3\times5]\equiv8\,[15]$ .
En effet, si $n\equiv 8[15]$ alors $n$ vérifie le système. Réciproquement, si $n$ vérifie le système d'équations, $(n-8)\equiv0\,[3]$ et $(n-8)\equiv0\,[5]$ donc $n-8$ est divisible par 3 et 5. Comme 3 et 5 sont premiers entre eux, d'après le lemme de Gauss, $n-8$ est divisible par 15.

Ainsi, notre premier sous-sytème a pour solution $n=8+15k$ avec $k\in\mathbb{Z}$

Comme on a montré l'équivalence entre le premier sous-système et l'équation $n\equiv8\,[15]$ , il reste à résoudre le système $\left\lbrace\begin{array}{l}n\equiv 8\,[15]\\n\equiv2\,[7]\end{array}\right.$
Comme 7 et 15 sont premiers entre eux, la même méthode s'applique. Peux-tu le faire ?

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

Fiches de niveau terminale
73 fiches de mathématiques en terminale disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Théorème des restes chinois.

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths