Si j'ai bien compris, tu voudrais appliquer le TCD et faire tendre k vers l'infini dans ? Quelle limite presque-sûre donnes-tu à ?

Si tu veux te contenter d'une limite en loi, alors il faut renforcer l'hypothèse de domination et utiliser une variante du théorème de Vitali à base d'uniforme intégrabilité. C'est très largement au dessus de ce qui est attendu pour une simple démonstration du théorème porte-manteau

Merci pour ta réponse Ulmiere. Je veux appliquer le TCD simplement à . Et l'interversion limite/intégrale donnera directement l'inégalité voulue.
On aura ainsi pas besoin de majorer le terme .

Citation :
Quelle limite presque-sûre donnes-tu à ?

Désolé, je n'avais pas vu que tu avais répondu hier.
Si tu as compris quelle est la limite des , alors ok, mais plus simplement que le TCD, tu peux appliquer le lemme de Fatou qui ne demande pas de domination. La suite est comme dans la preuve wikipedia. Je ne sais pas si tu as vraiment compris où l'uniforme continuité entre en jeu ?

Aucun souci pour la réponse. Et merci pour ton temps.

Je ne vois pas ce que le lemme de Fatou ajoute en fait Ou alors j'ai mal compris ton idée.

Pour l'uniforme continuité, tu veux dire où elle intervient dans la preuve? À part dans le fait que la lim en n (et donc la limsup en n) de soit , je ne vois pas où elle est utilisée

Si tu appliques le lemme de Fatou, tu verras qu'à un moment il va falloir intervertir et . C'est la que la convergence uniforme ou l'uniforme continuité sont utiles

Si tu veux contourner la difficulté, tu peux passer par une inégalité comme le fait ton corrigé Wikipédia mais dans ce cas, tu remplaces simplement le raisonnement à la fin sur l'intersection décroissante, par ton TCD. Là, ça fonctionnera.

Ce qui je veux dire c'est que si tu as l'intention d'écrire directement



puis prendre la liminf et inverser, ça ne fonctionne pas a priori. C'est à ça que sert la fonction :



Je ne sais pas si je suis très clair ?
Remplacer le raisonnement à la fin sur les intersections par un TCD directement (il n'y a plus de n) : oui
Appliquer le TCD alors qu'il y a encore du n et passer à la limite sur n : non

Mes excuses pour le temps de réponse! J'ai vu la réponse un peu tard, et j'ai complètement zappé!

Je comprends mieux pourquoi je ne comprenais pas. J'avais autre chose en tête!

Mais sinon oui merci tes explications sont claires maintenant, excepté un point. Comment obtiens-tu ton avant-dernière égalité? Pour une inégalité je suis parfaitement d'accord, mais sinon je ne vois pas...(même si ça ne change rien à ta preuve, j'essaie juste de comprendre si un truc m'échappe).

Mon idée, par contre, c'est de continuer à partir de l'inégalité



(où il n'y a bien plus de n à droite car, par hypothèse , converge vers pour tout k).

Et j'utilise le TCD en k sur car on a la majoration



Et on peut donc conclure que .

Et en passant à la limite dans l'inégalité du début (en k), j'obtiens ce qu'il faut.

Mais quelque chose me dit que l'interversion (due au TCD) est suspecte...

En relisant, je me rends que je ne comprends pas bien en quoi l'uniforme continuité permet ton interversion....

Oui pour le TCD, mais n'écris pas , on ne veut pas diviser par 0. Dis simplement que les sont uniformément majorées par la constante 1, qui est intégrable parce que les espaces probabilisés sont de mesure finie.

Ma première inégalité est simplement l'application du lemme de Fatou, qui dit que .

La seconde inégalité est une interversion qu'on peut astucieusement justifier en se servant de ce genre de résultat :

Ca complique quand même pas mal les choses par rapport à la preuve de Wikipédia