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Toboggan ter.***

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
16-08-05 à 18:25

Comme certains s'en sont probablement rendus compte, j'apprécie les toboggans.


On lache (sans vitesse initiale) une sphère homogène au point A d'un toboggan (voir dessin).

La sphère roule sans glisser et reste en contact avec la piste du toboggan depuis le point A jusqu'au point B.

La tangente à la piste du toboggan en C dans le plan de trajectoire de la sphère est verticale.

En B, la sphère quitte le toboggan et monte verticalement jusqu'à ce que son centre d'inertie soit à une altitude maximum x et ensuite la sphère redescend.

Sachant que H = 1,4 m et h = 0,35 m, pouvez-vous trouver x en négligeant les frottements dans l'air de la sphère ?
-----
Bonne chance à tous  


Toboggan ter.

Posté par papanoel (invité)re : Toboggan ter.*** 16-08-05 à 19:11

perduSalut,
Au hazard je dirais 1m05
@+ et vive le

Posté par
Nofutur2
re : Toboggan ter.*** 16-08-05 à 20:00

gagnéSi on calcule la variation de l'énergie cinétique de la sphère de vitesse initiale nulle entre A et B, il faut tenir compte du fait qu'elle est en rotation autour de son axe (soit v et w : respectivement vitesse du centre de gravité en B et vitesse angulaire de rotation en B), on obtient :
Delta (Ec) =1/2*m*v2 +1/2*J* w2
Comme la sphère roule sans glisser, w = v/r, donc :
Delta (Ec) = 1/2 *m*v2 + 1/2*(2/5*m *r2)*v2/r2= 7/10 m v2

Comme seul le poids travaille, on a :
Delta (Ec) = m*g* (H-h)
7/10  v2 = g*(H-h)
v2 = 10/7 * g * (H-h)

Entre B et le point le plus haut, la sphère continue à tourner à la même vitesse autour de son axe, mais la vitesse de son centre de gravité diminue jusqu'à s'annuler :

Delta' (Ec) = -1/2* m*v2 = -m*g*(x-h)

D'où x-h = 1/2*v2/g = 1/2*(10/7*(H-h)) = 10/14*(H-h) = 10/14 * 1,05 = 0,75 m
x = 0,75 +0,35 = 1,10 m

Posté par
lyonnais
re : Toboggan ter.*** 16-08-05 à 20:06

perdusalut J-P et bonjour à tous :

Alors voici ma réponse :

x = 0,86388604 m ( j'espère que je ne vais pas avoir de poisson sur les arrondis )

le raisonnement arrive ...

merci pour l'énigme
romain

Posté par
lyonnais
re : Toboggan ter.*** 16-08-05 à 20:19

perduoups, je me suis trompé de résultat !

je crois que j'ai tappé mon ancienne réponse ( 0,86388 m ) au lieu de la réponse que je voulais fournir.

La bonne réponse est : 0,875 m

le raisonnement arrive !

PS : J-P , soit clément avec moi

romain

Posté par
alfred15
re : Toboggan ter.*** 16-08-05 à 20:42

gagnéBonjour

Le centre d'inertie de la sphère va s'élever à 1,10 m

x = 1,10 m

Merci pour l'énigme

Posté par
lyonnais
re : Toboggan ter.*** 16-08-05 à 20:56

perduTout mon raisonnement est basé sur la conservation de l'énergie mécanique.

Au point A :

EmA = Ec + Ep
      = (1/2).m.VA² + mgH

or VA = 0 m/s donc EmA = mgH

Au point C :

EmC = Ec + Ep
      = (1/2).m.VC² + mgh

or h = 0 m/s donc EmA = (1/2).m.VC²

D'après la conservation de l'énergie mécanique ( en supposant les frottements abscents ) :

EmA = EmC
mgH = (1/2).m.VC²
VC² = 2.g.H

donc on a : \rm \magenta \fbox{\fbox{V_C = \sqrt{2.g.H} = \sqrt{27.44} m/s}}

Au point B :

vB = ?  et  h = 0,35 m

EmB = (1/2).m.VB²+ mgh

D'après la conservation de l'énergie mécanique ( en supposant les frottements abscents ) :

EmC = EmB
(1/2).m.VC² = (1/2).m.VB²+ mgh
VB² = VC²-2gh

donc on a : \rm \magenta \fbox{\fbox{V_B = \sqrt{V_C^2-gh} = \sqrt{20,58} m/s}}

Maintenant, étudions ce qui se passe au point B. La bille n'est soumis qu'a son poids, donc d'après la seconde loi de newton :
\vec{a}=\vec{g}

on a donc : 3$ \vec{a} \{ a_x=0 \\ a_z=-g

d'où : 3$ \vec{V} \{ V_x=V_B\time cos(45) \\ V_z=-gt+V_Bsin(45)

et enfin : 3$ \vec{BM} \{ x=V_B\time cos(45)t \\ z=-\frac{gt^2}{2}+V_Bsin(45)t+0.35

On obtient donc l'équation de la trajectoire :

3$ z=-\frac{g\time x^2}{2\time V_B^2\time cos^2(45)}+x\time tan(45)+0.35

il nous faut donc résoudre :

3$ \frac{g\time x^2}{2\time V_B^2\time cos^2(30)}+x\time tan(30)+0,35=0,35

on résoud et on trouve x = 2,1 m

Or la hauteur maximale atteinte par la boule a pour abscisse x/2 = 1,05 m

On trouve donc finalement :

3$ z=-\frac{g\time 1.05^2}{2\time V_B^2\time cos^2(45)}+1,05.\time tan(45)+0.35

soit z = 0,875 m

Voila. Encore une fois merci pour l'énigme
romain

Posté par
alfred15
re : Toboggan ter.*** 16-08-05 à 20:57

gagnéJe vais quand même écrire mon raisonnement :

Il faut ici tenir compte du moment d'inertie de la sphère.

Ec = 1/2 (m.v² + J.w²)

Dans le cas d'une sphère homogène de masse m, le moment d'inertie est J = 2/5.m.R²

Ec = 1/2.m.(v² + 2/5.R².w²)         (w = v/R)
Ec = 1/2.m.(v² + 2/5.v²)
Ec = 7/10.m.v²

La sphère roule de A à B puis, une fois la piste quittée, va continuer sa rotation en conservant une vitesse de rotation constante.

m.g.(H - h) = 7/10.m.v²
v² = 10/7.g.(H - h)

A partir du moment ou la sphère quitte B, elle dispose de l'énergie cinétique Ec = 1/2.m.v², v² venant d'être calculée. Cette vitesse va être exclusivement dépensée en gain d'altitude.

1/2.m.v² = m.g.(x - h)
x - h = 5/7.(H - h)
x = 5/7.(H - h) + h

x = 5/7.(1,40 - 0,35) + 0,35

x = 1,10 m

Merci pour l'énigme

Posté par
elda
re : Toboggan ter.*** 16-08-05 à 21:40

perdu\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2=mgH

v_B^2=2gH

\frac{1}{2}mv_{A'}^2-\frac{1}{2}mv_B^2=-mgx

x=\frac{v_B^2}{2g}=\frac{2gH}{2g}=H

donc elle remonte à 1.4 m

( la réponse peut paraître surprenante au premier abord, mais comme nous avons négliger les frottements...)

en espérant ne pas m'être trompée.

merci pour l'énigme

Posté par biondo (invité)re : Toboggan ter.*** 16-08-05 à 21:55

perduSalut,

la sphere monte a une altitude maximum:

x= 1,4 m


A+
biondo

Posté par Teebo (invité)re : Toboggan ter.*** 17-08-05 à 09:40

Bon pour le fun, ça doit être une connerie mais bon...

Selon la loi de la conservation de l'énergie, comme il y a ici aucune perte d'énergie (en négligeant les frottements dans l'air de la sphère, et comme aucune information nous permet de savoir quelle pertes sont dues aux frottements sur le toboggan, on ne peut que les négliger), tout l'énergie potentielle de pesanteur est transformée en énergie cinétique arrivée en bas) et que avec le "tremplin" celle ci se retransforme en EPP, on a donc x=H

Petite question subsidiaire, où est C 8) ?

La tangente à la piste du toboggan en C  
En fait je suppose qu'il s'agit de B, ceci dit ça ne devrait pas changer grand chose tant qu'il est relevé

Posté par
piepalm
re : Toboggan ter.*** 17-08-05 à 09:45

gagnéUne sphère de masse m de rayon r qui roule sans glisser a une vitesse angulaire w liée à la vitesse v du centre de gravité par v=rw. Par ailleurs, son moment d'inertie par rapport à un diamètre est J=2mr^2/5.
Son énergie cinétique est donc (mv^2+Jw^2)/2=7mv^2/10 : l'énergie cinétique de translation représente 5/7ème et l'énergie cinétique de rotation 2/7ème de cette énergie totale.
Partant à l'arrêt, la sphère acquiert en B une énergie cinétique égale à la variation d'énergie potentielle soit mg(H-h). Après le point B, puisque l'on néglige le frottement dans l'air, la sphère conserve intégralement sa rotation, et va perdre son énergie cinétique de translation au profit de l'énergie potentielle: elle va donc remonter
de x-h=5(H-h)/7=0,75 m soit x= 1,1 m
Merci pour l'énigme

Posté par
la_brintouille
re : Toboggan ter.*** 17-08-05 à 09:47

gagnéBonjour,
ici, l'énergie mécanique est conservée;
donc avec les notations usuelles, mgz + 1/2 mv^2 + 1/2 J w^2 = cste
J, moment d'inertie de la sphère selon son axe de rotation, vaut 2/5 mr^2.
De plus on a rw = v (au signe près selon l'orientation)

Donc 1/2 mv^2 + 1/2 J w^2 = 1/2 mv^2 + 1/2 * 2/5 m (rw)^2 = 7/10 mv^2

On applique la première égalité entre A et B:
mg(H-h) = 7/10 mv^2
Donc la vitesse (verticale vers le haut) en B vaut v_B^2 = 10g\frac{H-h}7

à partir de B, w est constant, donc 1/2 mv^2 + mgz est conservé.
Donc mg(x-h)=1/2 m vB^2
Et finalement x=h+5\frac{H-h}7

Et on trouve x = 1.1 m

merci pour l'énigme

Posté par Gallas132000 (invité)re : Toboggan ter.*** 17-08-05 à 14:45

perduSalut tout le monde,

Il me semble ke la hauteur maximale atteinte par la bille est donnee par:

Xmax={(2*(H-h))/g}^0.5

Ce qui donnerait une hauteur de 21.4 centimetres a peu pres

A toute

Posté par Gallas132000 (invité)re : Toboggan ter.*** 17-08-05 à 17:52

perduSalut a tous,

Nouveau message (desole ca devient une habitude):

X=0.35+0.214=0.56 cms

Le x du dernier message represente juste la distance compteee a partir de h.

Desole ...Ca sent le poisson de tte facon

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
Re:Toboggan ter. 17-08-05 à 20:15

perduBonjour J-P (Correcteur);
je trouve: 3$\red x = H = 1,4 m

Posté par christo06 (invité)challenge 18-08-05 à 21:00

perduje direr que x=1.05m

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Toboggan ter.*** 19-08-05 à 12:44

Enigme clôturée.

Petite distraction de ma part, il fallait lire "La tangente à la piste du toboggan en B dans le plan de trajectoire de la sphère est verticale"

Cette erreur n'ayant pas influencé les réponses données, les résultats sont donc validés.

La réponse attendue était 1,1 m.

Il ne fallait pas oublier l'énergie nécessaire à la rotation de la sphère sur elle-même.

Posté par
borneo
re : Toboggan ter.*** 19-08-05 à 13:47

Heureusement que plein de monde se plante, parce qu'à force de mettre des énigmes 3 ou 4 étoiles, les malheureux comme moi qui ont un niveau de fin de seconde n'auraient aucune chance de figurer au palmarès...
Merci pour les énigmes, ça occupe bien les vacances

Posté par wiat (invité)re : Toboggan ter.*** 19-08-05 à 14:15

C'est bon Lyonnais, t'as pas de regrets à avoir...

Posté par
lyonnais
re : Toboggan ter.*** 19-08-05 à 17:12

perdu wiat, je me suis bien planté sur ce coup là !

Si j'ai bien compris, mon erreur viendrait du fait que pour moi, la trajectoire aurait du être une parabole , alors que la bille montais juste en hauteur c'est ça ?

quelqu'un pourait-il me confirmer que c'est ça ?

romain

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Toboggan ter.*** 19-08-05 à 17:33

Salut lyonnais,

Je n'ai pas eu le courage de lire toute ta longue réponse mais en la survolant, il me semble bien que c'est pire que cela.

Ok pour la conservation de l'énergie mais comme je l'ai dit il faut penser qu'une partie de l'énergie est dans le mouvement de rotation de la sphère sur elle-même et tu n'en as pas tenu compte du tout.

Remarque qu'en "oubliant" d'en tenir compte tu aurais alors du trouver 1,4 m.

Il y a donc encore autre chose qui cloche, je ne vois pas pourquoi tu as été introduire un angle de 45° dans le problème.
-----
Comme je n'ai pas lu ta réponse avec assez d'attention, mon intervention ici n'est peut être pas très efficace.




Posté par
lyonnais
re : Toboggan ter.*** 19-08-05 à 18:23

perduok merci beaucoup J-P , j'ai compris mon erreur.

Enfin, mes erreurs : c'est bien, au moins j'ai compris comment il faut faire maintenant pour une autre fois.

merci pour l'énigme
romain

Posté par
laotze
??? 25-08-05 à 22:09

Bonjour à tous!

Tant d'énigmes sont passés en mon absence!
Je déduit qu'en août on doit veiller plus aux énigmes!

Cependant, il y a une notion de physique que j'ai essayé de comprendre, mais que je n'arrive pas à saisir, c'est la notion de "moment d'inertie" J avec J=2/5 * m * r² si je ne me trompe pas (enfin si, mais non....).

Pourriez-vous m'indiquer le sens de chaque terme de J, par exemple, pourquoi "2/5", pourquoi "r²"...

Voilà, et merci pour vos aides précieuses!
LAOTZE

Posté par
piepalm
re : Toboggan ter.*** 25-08-05 à 23:28

gagnéLe moment d'inertie intervient dans le calcul de l'energie cinétique de rotation. Pour un point de masse m tournant autour d'un axe distant de r à une vitesse angulaire w, sa vitesse linéaire est v=rw, donc son énergie cinétique mv^2/2=mr^2w^2/2=Jw^2/2 en notant J=mr^2 le moment cinétique de ce point. Pour un solide, il faudra calculer l'intégrale de mr^2 sur l'ensemble de son volume, et c'est ainsi que pour une sphère homogène, autour d'un diamètre, on trouve J=2mr^2/5... (pour une barre de longueur 2r autour d'une médiatrice, c'est mr^2/2, si je ne me trompe pas...)

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 12:58:38.
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