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Tout dépend de c
Bonjour,
Pour animer.
On choisit un nombre complexe c tel que Im(c) > 0, |c| < 1 et |1 − c| < 1.
La figure initiale est le segment joignant les points d'affixes 0 et 1.
À chaque itération, entre deux points consécutifs P et Q, d'affixes p et q, on insère le point R d'affixe r = p + c × (q − p).
Le segment [PQ] est alors remplacé par les deux segments [PR] et [RQ], et on applique la même règle à tous les segments obtenus.
Après n itérations, on note N_n le nombre de segments obtenus, L_n la somme de leurs longueurs, D_n le nombre de longueurs distinctes parmi ces segments, et M_n la longueur du plus long d'entre eux.
On note A_n la somme des aires des triangles PQR construits lors de l'itération suivante. En cas de chevauchement, les aires sont comptées séparément.
Quel est le comportement de ces cinq quantités lorsque n tend vers l'infini, selon la valeur de c ?
Bonjour Mdr_non
L'exercice est tout de même un peu tordu 
Clairement touts les points construits sont à l'intérieur du disque de centre 0 et de rayon 1 mais après on est dans le fractal . Une première piste serait de regarder ce qui se passe si l'argument de c est de la forme avec q rationnel .
Je ne suis pas sûr que j'aurais le courage de regarder tous les cas .
Peut-être un exemple bien senti pour motiver les troupes surchauffées ?
Imod
Bonsoir Imod,
OK, par exemple, dans le cas particulier symétrique c = (1 + i)/2, la figure obtenue porte un nom propre de quatre lettres.
Et voici une animation de la construction dans son cadre général :
Bonsoir,
les deux premières quantités sont faciles à calculer :
car à chaque étape on double le nombre de segments.
En posant on a
car le segment PQ est remplacé par la ligne brisée PRQ dont la longueur est |c|PQ+|1-c|PQ.
Je laisse un peu chercher la suite d'autant que j'ai encore un problème pour A_n.
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