Coucou bel(le) Anonyme

Si tu me permets je trouve ton énoncé à la fois amusant mais aussi un peu confus (peut-être que ca résulte du langage Titeuf qui nuit un peu  la compréhension... c Bien Dommage et c pas la première fois qu'on fait la remarque)...
Donc je te réponds en fonction de ce que j'en comprends

1.a) Démontrons par récurrence qu'il y a tjrs un poulet roi dans un poulailler qui contient un nombre fini non nuls de poulets :
Soit n le nombre de poulet du poulailler :

A)Montrons que la propriété "au moins un roi est vraie"
Pour n=1 notre poulet est forcément Roi (seul mais roi)
Pour n=2 par énoncé il y a un roi "dans tte paire il y a un roi"

B)Montrons la propriété pour n poulets:

Posons que dans un poulailler de n poulets il ya un Roi... qu'en est-il si l'on rajoute 1 poulet.

On a les deux affirmation suivante:
--> Dans un poulailler à n poulets il y a 1 roi (notre hypothèse)
--> Dans toute paire de poulets, il y a exactement un dominant et un dominé

donc dans la paire entre notre n+1ème poulet et notre roi actuel il y a un dominant et dominé. Donc si le premier domine notre nouvelle recrue alors il reste roi sinon la couronne change de tête : dans les deux cas il y a un tout de même un roi.

Donc la propriété est vraie pour n=2 et nous avons montré que la propriété est vraie à n+1 si elle vraie pour n poulets :
Nous avons donc montré qu'il y a toujours au moins un roi

A quelle condition nécessaire et sufisante celui-ci est unique ?
2.Est-il possible d'avoir exactement 2 rois ?
3. Pour n > 1 fixé, kel st les entiers k pr leskel il existe un poulaillet de n poulets ayan exactemen k rois ?

Je vais traiter l'ensemble de ces questions en une seule réponse

Si l'on isole un groupe de 3 poulet X1, X2 et X3, il y a toujours deux configurations possibles.
On notera X1 --> X2 signifie X1 domine X2

Configuration N°1
X1-->X2
X2-->X3
X3-->X1
on a alors 3 chaîne "royales" successives
X1-->X2-->X3   d'où X1 est un roi
X2-->X3-->X1   d'où X2 est un roi
X3-->X1-->X2   d'où X3 est un roi

Configuration N°2
X1-->X2
X1-->X3
X2-->X3
on a alors qu'une seule chaîne "royale" (mais donc au moins 1 roi)
X1-->X2
X1-->X3   d'où X1 est LE roi

En somme dés qu'on isole 3 poulets on a soit un roi soit 3 rois.

De cette première conclusion on peut répondre que la condition pour avoir avec certitude un roi unique c'est pour n<=2

Maintenant pour n= 4 poulets avec X1, X2, X3 et X4
>Posons que la configuration de X1, X2 et X3
X1-->X2
X2-->X3
X3-->X1
(cf. config. n°1)
on a alors 3 rois
si l'on rajoute X4 :
deux possibilités :
1- X4 est dominé par X1, X2 et X3 il n'y a alors que 3 rois au total
2- X4 domine au moins l'un des 3 autres : il est alors forcément roi (par exemple X4-->X1 or X1-->X2 donc X4 est roi). On a au total 4 rois

>Posons maintenant X1, X2 et X3 en configuration 2 : il n'y a alors qu'un roi
On rajoute X4 :
Etudions deux possibilités
X4 domine OU est dominé parles X1, X2 et X3 dés lors il y a 2 rois : X1 et X4 dans le premier cas et X1 et X2 dans le deuxième
C'EST NOTRE REPONSE A LA QUESTION 2 : Il EST POSSIBLE D'AVOIR EXACTEMENT 2 ROIS

Pour faire rapide (même si ce n'est pas très rigoureux) la conclusion pour la question 3 : vu qu'on peut systématiquement ramené un poulailler de n poulets comme une succession de trios de poulets d'où ressortent soit un soit 3 rois, pour n>=4 on peut considérer qu'on peut avoir exactement k rois dans un poulailler où n compris entre k et k+2 poulets.
Inversement dans un poulailler de n poulets on compte au minimum n-2 rois et au plus n rois


CONCLUSION GENERALE pour la question 3:

- 1 roi unique est possible pour n<=2
- pour n= 3 on compte 2 possibilités : soit 1 roi soit 3 rois
- Pour n>=4 on compte entre n-2 et n rois

(On retrouve notre résultat intermédiaire où l'on peut montrer que 2 poulets exactement c'est possible pour n=4)

Voilà, c'est un peu bref et rapide sur la fin... mais si tu t'intéresses vraiment à cet exercice n'hésites pas à revenir... en me confirmant d'ailleurs avant tout que j'ai bien compris ton énoncé! Dans un deuxième temps, il sera certainement possible de trouver une démonstration plus brève et plus percutante.

à Bientôt

Guille64

Merci pour ton aide =) je sais pas encore si c'est juste ou pas mais merci quand même =)

NB : si tu as une correction qu'on peut saisir rapidement... je suis preneur!

Merci à plus et bon courage

Guille64