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Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD

Posté par
Lyy 26-08-23 à 16:56

* Modération >   *** Bonjour *** *

Soit ABC un triangle et BAE et ACD deux triangles équilatéraux situés à l?extérieur du triangle ABC. On note AB = c, AC = b et BC = a. Soit R le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
On a démontrer que CE = BD et on a montrer qu?une mesure de l?angle des droites (EC) et (BD) est 60°.  précisément les triangles DAB et EAC sont les même.

Maintenant, je n'arrive pas a montrer la prochaine étape:
Vérifier que :
EC^2 =(a^2+b^2+c^2)/2+sqrt(3)abc/(2R)

Posté par
carpediemre : Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD 26-08-23 à 19:22

salut

un dessin serait pratique ...


ensuit il faut évidemment regarder dans ton formulaire quelles relations lient le rayon du cercle circonscrit aux côtés du triangle

en particulier l'expression abc/(2R) n'apparaitrait-elle pas dans une des formules de l'aire du triangle ABC ?

Posté par
Lyyre : Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD 29-08-23 à 16:50

Merci pour votre réponse!

Notons R(=GA=GB=GC) le rayon du cercle circonscrit du triangle ABC.
On a la relation suivant:  
Aire_triangle_ABC =\frac{abc}{4R}

On veut vérifier que:
EC^2 = \frac{a^2 +b^2+c^2}{2} + \frac{\sqrt{3}abc}{2R}


Et moi je vois bien que à partir de cette relation on a :
Aire_triangle_ABC =\frac{abc}{4R}=\frac{EC^2}{2\sqrt{3}}-\frac{(a^2+b^2+c^2)}{4\sqrt{3}}= \frac{2EC^2-(a^2+b^2+c^2)}{4\sqrt{3}}

et donc  dans ce cas il faut vérifiér que le rayon R est \sqrt{3} et abc=2EC^2-(a^2+b^2+c^2). ?

Voici ci dessous le dessin

Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD

Posté par
Lyyre : Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD 29-08-23 à 16:52

Mais je ne vois pas comment on arrive à conclure..

Lyy @ 29-08-2023 à 16:50

Merci pour votre réponse!

Notons R(=GA=GB=GC) le rayon du cercle circonscrit du triangle ABC.
On a la relation suivant:  
Aire_triangle_ABC =\frac{abc}{4R}

On veut vérifier que:
EC^2 = \frac{a^2 +b^2+c^2}{2} + \frac{\sqrt{3}abc}{2R}


Et moi je vois bien que à partir de cette relation on a :
Aire_triangle_ABC =\frac{abc}{4R}=\frac{EC^2}{2\sqrt{3}}-\frac{(a^2+b^2+c^2)}{4\sqrt{3}}= \frac{2EC^2-(a^2+b^2+c^2)}{4\sqrt{3}}

et donc  dans ce cas il faut vérifiér que le rayon R est \sqrt{3} et abc=2EC^2-(a^2+b^2+c^2). ?

Voici ci dessous le dessin

Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD
Mais je ne vois pas comment je peut conclure..

Posté par
carpediemre : Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD 29-08-23 à 17:37

il est préférable de noter O le centre du cercle circonscrit, la lettre G étant réservée plutôt à la notation du centre de gravité (notation usuelle) ... enfin pas grave ...

je pense que j'essayerai de développer le produit scalaire :   EC^2 = \left( \vec{EA} + \vec {AC} \right) \cdot \left( \vec {EB} + \vec {BC} \right)

et/ou introduire des vecteurs d'origine G  pour faire apparaitre le rayon (mais peut-être pas dans un premier temps)

ou plutôt faire éventuellement la même chose avec le vecteur BD et avec le vecteur AF (en introduisant le troisième triangle équilatéral)

car on doit certainement avoir AF = BD = CE

ce qui fait très certainement apparaitre une certaine circularité des termes dans les différentes expressions ...

Posté par
Lyyre : Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD 29-08-23 à 18:05

J'ai développer : EC^2=(\vec{EA}+\vec{AC}) \cdot(\vec{EB}+\vec{BC})= \vec{EA}\cdot\vec{EB} + \vec{EA} \cdot \vec{BC}+\vec{AC} \cdot \vec{EB}+ \vec{AC} \cdot \vec{BC}, mais je ne vois pas comment m'en servir :/

Posté par
carpediemre : Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD 29-08-23 à 19:55

tu as des triangles équilatéraux dont tu connais les angles (permet de calculer le premier produit scalaire)

ensuite il est peut-être intéressant d'introduire le milieu I du segment [AB] (à introduire dans les trois derniers produits scalaires à l'aide de la relation de Chasles toujours)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD 30-08-23 à 02:24

Bonsoir

\Large\boxed{EC^2=(\vec{AC}-\vec{AE})^2=AC^2+AE^2-2\vec{AC}.\vec{AE}=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A}+\frac{\pi}{3})}


\Large\boxed{EC^2=b^2+c^2-bc\cos(\widehat{A})+\sqrt{3}bc\sin(\widehat{A})}


\Large\boxed{EC^2=\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{1}{2}(b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A}))+\sqrt{3}abc\frac{\sin(\widehat{A})}{a}} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Lyyre : Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD 30-08-23 à 13:41

elhor_abdelali @ 30-08-2023 à 02:24

Bonsoir

\Large\boxed{EC^2=(\vec{AC}-\vec{AE})^2=AC^2+AE^2-2\vec{AC}.\vec{AE}=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A}+\frac{\pi}{3})}


\Large\boxed{EC^2=b^2+c^2-bc\cos(\widehat{A})+\sqrt{3}bc\sin(\widehat{A})}


\Large\boxed{EC^2=\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{1}{2}(b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A}))+\sqrt{3}abc\frac{\sin(\widehat{A})}{a}} ... sauf erreur de ma part bien entendu
Merci, cela a bien marché !

Posté par
lakere : Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD 31-08-23 à 12:02

Bonjour,

Juste pour information, F=(BD)\cap(CE) est le point de Fermat du triangle ABC. C'est l'unique point qui minimise la somme des distances aux sommets et duquel les côtés du triangle sont vus sous un angle de 120 °.
Une célèbre figure où, pour des raisons pratiques, les notations ont été modifiées : D\Longrightarrow B_1 et E\Longrightarrow C_1
Triangle ABC, triangles équilatéraux ABE et ACD


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