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triangle de Pascal et suite harmonique

Posté par
Sylvieg Moderateur
28-10-15 à 11:49

Bonjour,
Une petite formule dont je n'ai pas vu trace ailleurs :

\sum_{p=0}^{n}(-1)^{p}\times\ (_p^{n})\times\frac{1}{p+1}  =  \frac{1}{n+1}  qui s'écrit aussi \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\times\ \frac{(_k^{n})}{k+1}  =  \frac{1}{n+1}



Je la trouve un peu étonnante ; voici ce que ça donne pour quelques valeurs de n :
1 - 4/2 + 6/3 - 4/4 + 1/5 = 1/5
1 - 5/2 + 10/3 - 10/4 + 5/5 - 1/6 = 1/6

1 - 9/2 + 36/3 - 84/4 + 126 /5 - 126/6 + 84/7 - 36/8 + 9/9 - 1/10 = 1/10

Saurez-vous en trouver une démonstration ?
Blankez vos réponses SVP

Posté par
mdr_non
re : triangle de Pascal et suite harmonique 28-10-15 à 12:18

bonjour : )

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Posté par
mdr_non
re : triangle de Pascal et suite harmonique 28-10-15 à 12:21

pardon

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Posté par
Glapion Moderateur
re : triangle de Pascal et suite harmonique 28-10-15 à 12:21

Bonjour, si on intègre la formule du binôme (1-x)^n=\sum_{k=0}^n(-1)^kC^k_nx^k en faisant attention à la constante d'intégration (donc en rajoutant 1/(n+1) à gauche pour que l'égalité soit vérifiée pour x=0) et qu'on fait x=1 après ça devrait le faire, non ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : triangle de Pascal et suite harmonique 28-10-15 à 14:03

Bravo mdr_non pour la rapidité.
Oui Glapion , ça le fait. Mais comme tu as oublié de blanker, je vais demander aux suivants une démonstration sans primitive

Posté par
Glapion Moderateur
re : triangle de Pascal et suite harmonique 28-10-15 à 14:35

Citation :
Mais comme tu as oublié de blanker

désolé !

Posté par
mdr_non
re : triangle de Pascal et suite harmonique 28-10-15 à 14:47

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Posté par
mdr_non
re : triangle de Pascal et suite harmonique 28-10-15 à 14:53

bon à nouveau j'ai oublié quelque chose...

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Posté par
Sylvieg Moderateur
re : triangle de Pascal et suite harmonique 28-10-15 à 15:46

@Glapion : Je ne t'en veux pas car cette démonstration est à mon avis la plus élégante

@ mdr_non : Encore bravo pour la rapidité renouvelée et aussi pour la clarté non dénuée de concision

Posté par
lake
re : triangle de Pascal et suite harmonique 19-09-21 à 13:19

Bonjour,

Je remonte ce fil avec une nouvelle formule qui ressemble (son premier membre, pas le second !) à celle de Sylvieg:

Évaluer (sous forme d'une somme relativement connue) la quantité :

    S_n=-\sum_{k=1}^n(-1)^k\,\dfrac{\binom{n}{k}}{k}

On peut blanquer.

Posté par
GBZM
re : triangle de Pascal et suite harmonique 19-09-21 à 14:17

Bonjour,

Je reviens sur la première formule de Sylvieg, pour en donner une interprétation/démonstration combinatoire.

On tire au hasard une permutation \sigma de \{0,1,\ldots,n\}. On note, pour i=1,\ldots,n, A_i l'événement \sigma(0)<\sigma(i).
1°) Il est clair que P(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k})=\dfrac1{k+1} (une histoire de piquets et d'intervalles, où placer 0 par rapport aux i_1,\ldots,i_k déjà rangés)
2°) Il est clair que P(\bigcup_{i=1}^n A_i)=\dfrac{n}{n+1} (même raison).
La formule de Sylvieg est alors juste une application de la formule du crible de Poincaré.

Posté par
jandri Correcteur
re : triangle de Pascal et suite harmonique 19-09-21 à 21:10

Bonjour,

la formule de lake :

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et une démonstration avec une intégrale :
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Posté par
lake
re : triangle de Pascal et suite harmonique 19-09-21 à 22:27

Bonjour jandri,

  

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