Bonjour
Problème posé en 1995 dans "Jouer Jeux Mathématiques" N°17.
Je laisse chercher les autres.

Bonjour,
2 oui mais le 3 ème

Moi je ne suis toujours pas convaincu qu'il existe des points intérieurs dont les distances sont des nombres rationnels

bonjour,

mais si, mais si .

un calcul plus ou ou moins élémentaire montre que les distance a,b,c et le côté d sont liés par

 Cliquez pour afficher

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = a²b² + a²c² + b²c² + a²d² + b²d² + c²d²

avec c ≤ b ≤ a ≤ d et a² ≤ b² + c² + bc
Cette dernière inégalité étant stricte si on veut P strictement intérieur au triangle, et a² = b² + c² + bc pour P sur un côté.

Bonjour,

Merci mathafou pour ces explications et cette formule (qui donne aussi des points extérieurs)
S'il existe un point, il a 5 clones par symétries,
Par groupes de 6, donc, il y a des triangles équilatéraux de côtés entiers ayant 2, 3, 4.... points à distances entières des 3 sommets.

Bonjour
mathafou, il n'y en a qu'une plus petite en effet !

Il suffit d'écrire la formule qui donne le côté en fonction des 3 distances et il suffit de faire tourner sa bécane ...

pour les points sur les côtés on peut faire intervenir la formule de Stewart :


les    étant les mesures algébriques sur la droite (AB) orientée dans un sens arbitraire
cela permet de calculer PC avec ces données là et de vérifier qu'il mesure bien 7.

Bonjour,
On trouve aussi :
Avec d = coté du triangle:
(a²+b²+c²+d²)² =3()
Si de tels nombres a,b,c existent je pense  qu'il faut chercher dans les triplets  pythagoriciens.

oui, les deux formules sont équivalentes
mais avec des puissances 4, et des sommes de 4 termes on est loin de triplets Pythagoriciens...

on a aussi :

m = 2(u² - v²), n = u² + 4uv + v²
a = m² + n²
b, c = m² ± mn + n²
d = 8(u² - v²)(u² + uv + v²)

avec u, v dans Z² donnent une infinité de solutions (en triant)
Malheureusement ne donnent pas toutes les solutions,
en particulier la plus petite cherchée n'est pas obtenue par ces formules.

dpi tu y es presque.
Tires d en fonction de a, b, c de ta formule et ...

c'est plus facile de "tirer d" de la formule que j'avais citée à10:27 car c'est tout développé ...

par ailleurs cette formule (celle de 10:27) s'obtient instantanément (enfin ... faut pas pousser) en écrivant que le volume du tétraèdre PABC est nul par un déterminant

bref, pour part c'est ma formule développée de 10:27 qui implique la formule factorisée et non le contraire.
mais tout dépend de la façon dont on mène les calculs...

une remarque :
a,b,c,d jouent exactement le même rôle dans la formule
plutôt que de calculer le côté d à partir des distances a,b,c il serait plus judicieux de calculer la 3ème distance c à partir du côté d et des deux distances a et b
car a,b,c < d (point intérieur) limitera le balayage et donnera les triangles triés par valeurs de d croissantes
intéressant pour trouver le plus petit : c'est le premier trouvé !

>derny

Pour nous aider  dans quelle dizaine est d

"un peu moins" que mon exemple

mais avec un programme bien conçu ça ne change pas grand chose : il les trouve par paquets à toute vitesse.

un indice supplémentaire gratuit qui peut servir si son programme est trop lent, quoique ... :
il se trouve que avec la même valeur de ce côté minimum, il y a aussi deux points à distances entières sur un côté
(sans compter les symétries)



trouver une solution avec point sur le côté revient très exactement à trouver des triangles APC à côtés entiers avec A = 60° (de côtes a, c, d, et b = d-a)
ou MPC avec M = 120° (de côtés a, b, c et d = a+b)

les solutions avec le point sur un côté et des distances entières s'obtiennent directement par des formules "à la Pythagore" permettant de trouver directement tous les triangles à côtés entiers avec un angle de 60° ou de 120°

j'ai retrouvé mon script de calcul des solutions entières
il me les sort (en comptant celles avec le point sur un côté ou seulement à l'extérieur) effectivement à la pelle en pratiquement le temps de lever les yeux du clavier vers l'écran
...

Pour P sur le coté il y a déjà les homothéties de ta solution :
6 10  14  16
9 15  21  24
etc...

Bonjour
dpi le plus petit d est entre 110 & 120.
La plus petite distance à un sommet, est 43 mais, à l'époque, il y a presque 30 ans (comme le temps passe), j'avais assez vite arrêté mon programme donc 43 n'est peut-être pas le min possible.

La plus petite distance à un sommet, est 43

pareil. j'avais arrêté mon programme à l'époque avec la plus grande distance au sommet < 20000,
rien ne permettant d'affirmer que 43 est la plus petite distance avec un point strictement intérieur.

par contre le balayage des valeurs de d est très rapide pour obtenir la valeur minimal du coté quasi instantanément.

pour d de 1 à 200 (à la louche)
        pour c de 1 à d (à la louche)
                pour b de 1 à c (on peut affiner !!)
                        calculer a (équation bicarrée)
                        vérifier les conditions (a entier < b et point intérieur, PGCD = 1)

on impose a ≤ b ≤ c ≤ d
modifier l'ordre des boucles permet d'arriver plus rapidement à ce qu'on cherche, selon ce qu'on cherche, ou de trier les solutions selon un critère.

nota : si on ne se restreint pas aux points strictement intérieurs, tout quadruplet de valeurs donne 4 triangles différents par permutation (la relation étant totalement symétrique en a,b,c,d)

n'importe quel triplet extrait de ce quadruplet doit pouvoir former un triangle (satisfaire aux inégalités triangulaires)
ceci permet d'affiner (un peu) le balayage.
c'est évident pour les triplets incluant le côté du triangle équilatéral (car les trois triangles internes sont visibles !)
une des méthodes de construction du triangle équilatéral connaissant les distances implique que les distances elles mêmes doivent pouvoir former un triangle :



une rotation de centre B et d'angle 60° transforme P en M, le triangle BAP en BCM, avec apparition de ce triangle CPM de cotés a,b,c
le construire , puis construire le triangle équilatéral MPB est la clé de cette construction de ABC connaissant les distances a,b,c
(et d'une méthode de calcul direct de l'aire de ABC à partir des distances a,b,c, d'ailleurs, et par conséquent du calcul du côté)

dpi : triangles multiples :
je parle de triangles "primitifs", c'est à dire avec PGCD = 1

Bien vu mathafou le coup de la rotation de 60° pour construire ABC en partant de abc.

Je donne enfin la formule qui donne le côté du triangle en fonction des 3 distances.
On a le signe "-" quand le point P est extérieur au cercle circonscrit au triangle.

 Cliquez pour afficher

c'est du même genre que la rotation de 90° dans le problème sur les carrés
en fait je connaissais "le coup" pour le triangle (ce n'est pas de moi ... c'est "bien connu") et je n'avais pas vu le même pour le carré...

une autre façon de procéder est de fixer un sommet A et le point P avec AP = a
B et C sont sur des cercles de centre P et de rayons b et c

comme C doit être l'image de B par rotation de 60°, l'intersection de l'image du lieu de B dans la rotation de sommet A avec le lieu de C donne C et la rotation inverse donne B
AB₂C₂ donne le triangle avec P à l'extérieur
certaines valeurs de {a,b,c} donnent les deux triangles tous deux avec P à l'extérieur
c'est ce qui complique un peu le calcul pour filtrer les solutions...
il ne suffit pas de prendre la plus grande des deux solutions.

construction classique d'un triangle équilatéral de sommet A fixé et les deux autres sur deux "courbes" connues

il y a encore d'autres façons de construire ABC étant données les distances a,b,c au point P ...

PS : il ne suffit donc pas de prendre le signe + dans ta formule pour que P soit intérieur

exemple 43, 248, 285 d=287

Grâce à derny,

 Cliquez pour afficher

Je venais de trouver 112 ,57,65,73

heu!

 Cliquez pour afficher

112,55,57,97

Curieusement

112 à donc au moins deux réponses

suite,

sauf erreur,

112 est curieux on trouve un minimum de 42
42

mauvais clic

 Cliquez pour afficher

112, 42,70,98

dpi 55  57  97 est le cas particulier où P est sur une côté et ton dernier cas est faux.
57  65  73   112 est bien le plus petit

mathafou le signe + ne signifie pas forcément P à l'intérieur du triangle (lis ce que j'ai écrit au-dessus de la formule).

on parle de points intérieurs strictement au triangle ...
et de triangles primitifs

si on considère des triangles de taille multipliée par k, et des points sur un côté ou même extérieur au triangle , les solutions sont énormément plus nombreuses.
(et le programme mouline bien plus longtemps ...)

 Cliquez pour afficher

57, 65, 73 d=112 : à l'intérieur strictement
55, 57, 97 d=112 : sur un côté car 55+57 = 112
42, 70, 98 d = 112 : sur un côté car 42+70 = 112 et c'est 14 fois {3,5,7, d = 8}
ce sont les seuls avec P intérieur au sens large dans un triangle de côté 112
prouvant que 112 est le plus petit côté avec un point intérieur

P à l'extérieur (triangles primitifs !) :
35, 133, 147 d=112
75, 163, 187 d=112
et certainement (conjecture) une infinité d'autres.

pour le minimum de 43 pour un point strictement intérieur : 43, 147, 152 d=185
sans preuve que il n'existe pas un P intérieur strictement avec : a<43, b très grand, c très grand, d très grand

avec le point sur un côté la distance min est 3 : (3, 5, 7, d = 8)

on ne sait pas grand chose d'un minimum de distance avec le point strictement extérieur...
ce minimum est en tout cas ≥ 1 et ≤ 43
le triangle 43, 248, 285 d=287 déja cité ayant P strictement extérieur

derny on est d'accord, mais il n'empêche que c'est ce qui compte, qu'il soit intérieur ou extérieur au triangle

avec le signe - aucune chance : il est forcément extérieur
avec le signe + il faut tester ... c'était le seul sens de ma remarque.

Là d'accord avec toi, avec + … c'est nécessaire mais pas certain.

Je voulais dire nécessaire mais pas suffisant.

Bravo

merci  à vahm
On attend ton prochain

nota Post Scriptum :

... est le plus petit côté avec un point intérieur strictement

et
35, 133, 147 d=112 P est "sur un côté" (sur le prolongement  d'un côté : 112+35=147)