Salut

1) a) On sait que les droites (D'B) et (DB') sont parrallèles car ABCD est un parrallélograme et D' appartient a (AB) et B' appartient a (DC)

or la droite (BD) est une sécante à ces parrallèles : donc les angles OBB' et ODD' sont alternes internes donc égaux

   b) Pour montrer que ODD' et OBB' sont isométriques il suffit de montrer que



et que les angles compris entre ces côtés sont égaux :
c'est à dire :

  . Notons d'abord que cette troisième hypothèse est déja vérifiée par la question a)
  .. O étant le centre du parralélogramme donc ce qui est la 1ere hypothèse
  ... On sait que les droites DD' et BB' sont toutes deux parrallèles à (AC) donc elles sont parrallèles entre elles.
Or et ce qui nous permet de dire que les droites (D'B) et (DB') sont parrallèles.
On vient de définir le parralélograme et par conséquent on a

on vérifie alors les 3 hypothèses donc ODD' et OBB' sont isométriques.

   c) Partons de ce qu'on vient de démontrer :  ODD' et OBB' sont isométriques donc leurs côtés sont égaux deux à deux d'où : OD' = OB'
donc O est le milieux de [D'B']

2) Démontrons d'abord que (A'A) et (C'C) sont parallèles

A' projetté orthogonal de A sur (BD) donc (A'A) et (BD) sont perpendiculaires
C'    "         "      "  C  "  (BD) donc (C'C) et (BD) sont perpendiculaires

donc (A'A) et (C'C) sont perpendiculaires a une meme droite donc sont parralleles entre elles.

Reste à démontrer que A'A = C'C.

On a les angles AA'O et CC'O droits, donc
Par ailleurs il est évident que
Or la somme des angles d'un triangle fait 180°
On en déduit que

Les trois angles des triangles AA'O et CC'O sont égaux 2 a 2. On en déduit que ces triangles sont isométriques.
Ainsi on peut dire que
A'A = C'C

Et donc que A'AC'C est un paralélogramme.